Ornstein-Uhlenbeck 動力學下的數字呼叫
我正在嘗試為數字期權定價 $ \mathbb{I}_{S_T>K} $ ， 在哪裡 $ S_t $ 遵循 Ornstein-Uhlenbeck 動力學 $ \mathrm{d}S_t=rS_t\mathrm{d}t+\sigma\mathrm{d}W^{\mathbb{Q}}_t $ 在風險中性測度 $ \mathbb{Q} $ . 我已經設法計算出 $ \mathrm{d}(\mathrm{e}^{-rt}S_t)=\sigma\mathrm{e}^{-rt}\mathrm{d}W^{\mathbb{Q}}_t $ ，所以條件分佈是
$$ \mathrm{e}^{-rT}S_T|\mathrm{e}^{-rt}S_t\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{2r}(\mathrm{e}^{-2rt}-\mathrm{e}^{-2rT})\right). $$
因此，假設我的計算有意義，我的數字期權的價值是
$$ \begin{align*} V(t,S_t) &=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\mathbb{I}_{S_T>K}\ &=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\mathbb{Q}\left(X_T-Y_T>K|\mathcal{F}_t\right)\ &=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\mathbb{Q}\left(\mathrm{e}^{-rT}(X_T-Y_T)>K\mathrm{e}^{-rT}\Big|\mathcal{F}_t\right)\ &=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\mathbb{Q}\left(Z>\frac{K\mathrm{e}^{-rT}}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}(\mathrm{e}^{-2rt}-\mathrm{e}^{-2rT})}}\Big|\mathcal{F}_t\right)\ &=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\Phi\left(\frac{-K\mathrm{e}^{-rT}}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}(\mathrm{e}^{-2rt}-\mathrm{e}^{-2rT})}}\right). \end{align*} $$
然而，在極限 $ t\to T $ ，我似乎沒有得到 $ V(t,S_t)\to\mathbb{I}_{S_T>K} $ 如，我哪裡出錯了？
問題似乎是您忘記了過程的平均值。
如果 $ ds_t = rs_tdt + \sigma dW_t^\mathbb Q $ ，則 SDE 的解由下式給出 $$ s_T = s_te^{r(T-t)} + \sigma\int_t^Te^{r(T-u)}dW^\mathbb Q_u. $$ 由於最後一個積分是高斯的，終端價格的分佈由下式給出 $$ s_T \sim\mathrm N\left(s_te^{r(T-t)}, \frac{\sigma^2}{2r}\left[e^{2r(T-t)}-1\right]\right). $$
現在，對於數字選項，這轉化為 $$ V(t,s_t) = e^{-r(T-t)}\mathbb Q\left[s_T>k\right] = e^{-r(T-t)}\Phi\left[\frac{s_te^{r(T-t)} - k}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left[e^{2r(T-t)}-1\right]}}\right], $$ 我用的地方 $ \Phi(x) = 1 - \Phi(-x) $ .
特別是，當 $ t\to T $ , 的論點 $ \Phi $ 會發散到 $ \pm\infty $ 取決於符號 $ s_t - k $ ， 意思就是 $ V(t,s_t)\to 1_{\left{s_t>k\right}} $ .