期權組合總 delta 分佈
我們知道期權組合的****delta只是單個期權的 delta 之和。但是，關於期權組合的總 delta （或其他希臘語）是否有任何其他已知屬性？
更具體地說，投資組合的總增量如何改變一個人添加的更多選項？如果有隨機集合的看漲期權和看跌期權在相同的基礎上，但具有不同的行使價和到期日，抵消增量的可能性不應該增加嗎？是否有可能在這裡應用中心極限定理來推導出一些一般規則，當更多的期權被添加到這樣的投資組合****中時，這種投資組合的希臘人如何表現？
評論有點太長了。
TLDR：這很難，因為您的策略和市場走勢之間存在相互作用。
如果您正在執行針對希臘人的某些敞口的期權策略，我認為統計方法沒有意義。你應該得到你想要的曝光。
如果您提供流動性，則統計方法可能更有意義：畢竟，您是在提供雙向報價並獲得填充。如果你的工作做得不錯，你就會得到雙方的填補，你的職位就會被取消。
不過，我認為這種方法在實踐中行不通。當市場移動時，一側的填充將占主導地位。這種暴露是有風險的並且是不希望的，因此您嘗試在此過程中創建一些回饋來減輕這種風險。市場的性質和回饋取決於具體的市場、時間和您的風險管理措施，即回饋過程相當複雜且不斷變化。因此，先驗地計算這些統計數據似乎很困難，而且可能不值得。
當然，如果您有足夠的數據可以分析希臘人的時間序列並分析該數據，則此分析僅對您的系統有效。希望未來不會有太大的不同，您的模型也可以用來預測不久的將來。
從（相當）理論的角度來看，如果您所做的只是在所有罷工中買入看跌期權和看漲期權 $ 0\leq K \leq u $ 達到某個最大罷工 $ u $ ，您正在聚合相應的呼叫增量 $ N(d_1(K)) $ 並放置增量 $ N(d_1(K))-1 $ 跨越罷工。每個罷工位置，這導致總增量為 $ 2N(d_1(K))-1 $ .
現在，讓我們假設一個密集的打擊範圍， $ 0\leq K \leq u $ 並強加一個沒有紅利的布萊克斯科爾斯世界。讓我陳述兩個事實：
- 對於正隨機變數 $ X $ , 在某個範圍內對其累積密度函式 (cdf) 的積分 $ [0,u] $ ( $ u $ 足夠大；可能無限）等於它的期望值 $$ E_F(X)=\int\limits_0^u1-F(x)dx $$
- 期權增量 $ N(d_1(K)) $ 等於預期機率 $ S_T\geq K $ 在庫存量度下 $ \hat{\mathbb{Q}} $ ， 因此$$ N(d_1(K))=1-E_\hat{\mathbb{Q}}(\mathbb{1}{S_T\leq K})=1-F\hat{\mathbb{Q}}(S_T) $$
1 + 2 一起暗示$$ I\equiv\int_{K=0}^uN(d_1(K))\mathrm{d}K=E_{\hat{\mathbb{Q}}}(S_T)=S_0e^{(r+\sigma^2)\tau} $$ 和 $ r,\sigma,\tau $ 無風險利率、隱含波動率和到期時間，因此，您的總頭寸增量等於
$$ \begin{align} \Delta&=\int_{K=0}^u(2N(d_1(K))-1)\mathrm{d}K\ &=2I-u\ &=2S_0e^{(r+\sigma^2)\tau}-u \end{align} $$ 設置上限時 $ u $ , 你可以這樣設置 $ N(d_1(u))< 10^{-10} $ .