所有隨機波動率模型都捕捉到波動率微笑嗎？
我最近開始閱讀 SABR 模型。在 Wiki 頁面中，它指出SABR 模型可以捕捉衍生品市場的波動微笑。但是，我不明白它是如何做到的。
我將嘗試回答您更一般的問題“所有 SV 模型都會產生微笑嗎？” 您在其中一條評論中添加了它。（如果您願意，如果我的回答令人滿意，也可以編輯您的問題的標題。）
我將從資產和波動過程之間的零相關性開始。對非零相關的概括很簡單（但更乏味）。
讓 $ \bar{\sigma} $ 表示未來實現的波動率。如果波動率是隨機的，它將有一個分佈。香草期權的價格是 $$ C(S,K) = E[(S_T - K)+] $$ 通過調節我們可以寫 $$ \begin{align} C(S,K) &= E[(S_T - K)+] \ &= E[E[(S_T - K)_+] | \bar{\sigma}] \ &= E[C^{BS}(S,K,\bar{\sigma})] \end{align} $$
由於 Black-Scholes vanilla 期權價格的波動性是單調的，我們總能找到一個參數，稱之為 $ \Sigma $ , 這樣 $$ C(S,K) = C^{BS}(S,K,\Sigma(K)) $$ 無論價值多少 $ C(S,K) $ 或許。因此， $$ C^{BS}(S,K,\Sigma(K)) = E[C^{BS}(S,K,\bar{\sigma})],\quad \forall K $$ 因此，如果波動率不是隨機的，那麼 $$ C^{BS}(S,K,\Sigma(K)) = C^{BS}(S,K,\bar{\sigma}),\quad \forall K $$ 但由於 Black-Scholes 價格公式的波動性是單調的，並且 $ \bar{\sigma} $ 不依賴於 $ K $ 這一定意味著， $$ \Sigma(K) = \bar{\sigma} ,, \forall K \Rightarrow \frac{\partial \Sigma}{\partial K} =0 $$ 因此，如果波動性不是隨機的，那麼就沒有微笑。因此 not(no smile) 暗示 not(not stochastic)。
希望這是有道理的。
編輯：我應該添加一個或者兩個假設來使這個“證明”完全無懈可擊，因為其他非 SV 模型也可以微笑，但假設資產只能遵循純 SV 模型（可能波動性為零）那麼證明就OK了。