籃子期權有封閉式估值公式嗎？
假設我正在模擬一個包含 N 個股票的籃子的歐式看漲期權，這些股票的波動率略有不同，但所有其他參數保持不變。從估計的角度來看，從蒙地卡羅模擬中匯總到期時的值並減去籃子的行使價似乎很簡單。但是，我想知道是否有一個封閉式方程來對籃子期權進行估值，理想情況下基於 Black Scholes PDE，它可以用來計算確切的值作為比較。
編輯：我進行了編輯以闡明期權籃的含義
我不能完全確定你的問題，但我會假設你有一籃子 $ n $ 有價格的股票 $ S_0(t) $ 至 $ S_n(t) $ ，並且你想給一個期權定價，其收益為 $ C(\tau) $ 有時 $ \tau $ 等於
$$ \begin{align} C(\tau) = \max\Bigl({\frac 1 n}\sum^n_{i=1} S_i - K, 0\Bigr) \end{align} $$ 在哪裡 $ K $ 是期權的行使價
我還將做出 BS 假設，這些假設中的每一個都是根據 RN 測量中的幾何布朗運動演變的，所以
$$ \begin{align} dS_i = S_i \bigl(r dt + \sigma_i dW_t) \end{align} $$ 其中布朗運動可能與 $ n \times n $ 相關矩陣 $ \tilde{\Sigma} $
這意味著在時間 $ \tau $ , 每隻股票都有價格 $$ \begin{align} S_i(\tau) &= S_i(0)\exp \Bigl( (r -{\frac 1 2} \sigma_i^2)\tau + \sigma_i \sqrt{\tau} x_i \Bigr)\ &= F_i(0) \exp \Bigl( {\frac 1 2} \sigma_i^2\tau + \sigma_i \sqrt{\tau} x_i \Bigr) \end{align} $$ 我吸收了 $ r $ 項到前向以簡化代數，並且 $ x_i $ 是從一個 $ n $ 具有均值的維多元正態 $ 0 $ , 變異數 $ 1 $ 和相關矩陣 $ \tilde{\Sigma} $ 從上面
現在我們面臨的問題是，假設這些動態，我們知道如何使用 BS 公式對價格呈對數正態分佈的單一股票的期權定價。但不幸的是， $ \sum^n_{i=0} S_i $ 收益中的項不是對數正態分佈的，因為它是對數正態的總和，而不是乘積。
我們有兩個選擇：
- 使用蒙特卡羅數值計算價格
這是 python 來做到這一點（在這裡，對於 5 只具有我剛剛組成的隨機相關矩陣的股票）
import numpy as np import pandas as pd from matplotlib import pyplot as plt from scipy.stats import multivariate_normal means = np.zeros(5) corr_mat = np.matrix([[1, 0.1, -0.1, 0, 0], [0.1, 1, 0, 0, 0.2], [-0.1, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0.15], [0, 0.2, 0, 0.15, 1]]) vols = np.array([0.1, 0.12, 0.13, 0.09, 0.11]) cov_mat = np.diag(vols).dot(corr_mat).dot(np.diag(vols)) initial_spots = np.array([100., 100., 100., 100., 100.]) tte = 1.0 strike = 100 seed = 43 num_paths = 50000 results = [] rng = multivariate_normal(means, cov_mat).rvs(size=num_paths, random_state=seed) for i in range(num_paths): rns = rng[i] final_spots = initial_spots * np.exp(-0.5*vols*vols*tte) * np.exp(tte * rns) results.append(final_spots) df = pd.DataFrame(results) df['payoff'] = ((df.sum(axis=1) / 5) - strike).clip(0) df['payoff'].mean()給出價格 $ \sim 2.09 $
- 價格大約, 使用分析技術
我們可以在這裡使用一個技巧。期權總和的價格不是對數正態分佈的，而是價格的乘積，所以我們可以分析性地為有收益的合約定價 $$ \begin{align} C(\tau) = \max\Bigl(\bigl(\prod^n_{i=1} S_i\bigr)^{\frac 1 n} - K, 0\Bigr) \end{align} $$
代數有點複雜（見答案的底部），但事實證明這簡化了一個普通的期權定價問題，所以我們可以使用正常的 BS 方程為期權定價： $$ \begin{align} C(0) &= \delta \bigl(F\Phi(d_{+}) - K \Phi(d_{-})\bigr)\ d_{+} &= {\frac {\ln{\frac F K} + {\frac 1 2} \tilde{\sigma}^2 \tau} {\tilde{\sigma}\sqrt{\tau}}}\ d_{-} &= d_{+} - \tilde{\sigma}\sqrt{\tau} \end{align} $$
但是我們需要插入的值 $ F $ 和 $ \tilde{\sigma} $ 是： $$ \begin{align} \sigma^2 &= {\frac 1 n}\sum_{i=1}^n \sigma_i^2\ \tilde{\sigma}^2 &= {\frac 1 {n^2}} \sum_{i,j=0}^n \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j\ F &= \Bigl(\prod_{i=1}^n F_i\Bigr)^{\frac 1 n} \cdot \exp\Bigl(-{\frac 1 2} \bigl(\sigma^2 - \tilde{\sigma}^2 \bigr)\tau\Bigr) \end{align} $$
我也在這裡用邋遢的python實現了這一點：
mod_vol_1 = (vols ** 2).mean() mod_vol_2 = vols.dot(corr).dot(vols) / len(vols)**2 mod_fwd = np.product(initial_spots)**(1/len(vols)) * np.exp(-0.5*tte*(mod_vol_1 - mod_vol_2)) d_plus = (np.log(mod_fwd / strike) + 0.5 * mod_vol_2 * tte) / np.sqrt(mod_vol_2 * tte) d_minus = d_plus - np.sqrt(mod_vol_2 * tte) mod_fwd * norm.cdf(d_plus) - strike * norm.cdf(d_minus)價格是 $ 1.87 $
這對我們有什麼幫助？其實有兩種方式…
- 矩匹配
這是為幾何平均籃子開發的，但事實證明我們可以使用一種稱為矩匹配的技術來改進近似值
首先，這給了我們與上面相同的方程，除了 $ F $ 而是等於簡單地 $$ \begin{align} F &= \Bigl(\prod_{i=1}^n F_i\Bigr)^{\frac 1 n} \end{align} $$
如果我們對我們邋遢的蟒蛇進行這種調整，我們幾乎完全匹配上面的蒙地卡羅價格……
mod_vol_1 = (vols ** 2).mean() mod_vol_2 = vols.dot(corr).dot(vols) / len(vols)**2 mod_fwd = np.product(initial_spots)**(1/len(vols)) d_plus = (np.log(mod_fwd / strike) + 0.5 * mod_vol_2 * tte) / np.sqrt(mod_vol_2 * tte) d_minus = d_plus - np.sqrt(mod_vol_2 * tte) mod_fwd * norm.cdf(d_plus) - strike * norm.cdf(d_minus)價格是 $ 2.10 $
- 控制變數
我們還可以使用幾何期權來改進我們的 MC 計算，使用控制變數的技術，它依賴於這樣一個事實，即由於兩種期權的價格高度相關，因此定價過高的 MC 路徑往往會超過-price 另一個，反之亦然，這使我們可以大大提高 MC 的收斂性。
而且它們確實是高度相關的……這是沿著相同路徑的兩個價格的散點圖（注意幾何籃子總是比給定路徑上的算術籃子便宜）：
除了 StackG 的回答之外，這裡是一個很好的介紹性概述，介紹了在 Black-Scholes 框架中對籃子定價的幾種（近似和半分析）方法：