如果我們添加另一個工具，CRR 模型是否會失去完整性？
考慮具有一項風險資產的多期二項式/CRR 模型 $ S^{1} $ 和一個計價器 $ S^{0} $ . 通過看到等價鞅測度是唯一確定的，我們得出市場是完備的。
我曾經問過自己的一個問題是是否增加了另一種風險資產 $ S^{2} $ 對市場的破壞完整性。直覺地說，擴展市場不應該是完整的，因為我可以構造許多等價的鞅測度。有沒有辦法與底層空間上的原子爭論？我正在尋找一個很好的證明。
我從一般離散時間/離散狀態模型的角度回答。這包括作為特例的二叉樹模型。在有限維度中，您可以將資產收益和收益解釋為向量並退回到線性代數。
假設你有 $ N $ 自然狀態和 $ J $ 資產。你的收益矩陣是 $$ \begin{align*} A=\begin{pmatrix} X_1(\omega_1) & … & X_J(\omega_1) \ X_1(\omega_2) & … & X_J(\omega_2) \ \vdots & \ddots & \vdots \ X_1(\omega_N) & … & X_J(\omega_N) \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{N\times J}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ X_i(\omega_j) $ 表示資產的回報 $ i $ 處於狀態 $ j $ .
完整性意味著能夠對沖狀態空間中的任何收益。你的狀態空間是 $ \mathbb{R}^N $ . 問題是這樣的
給定任何回報 $ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^N $ ，是否複製（或對沖）投資組合， $ \mathbf{q}\in\mathbb{R}^J $ , 存在使得 $ A\mathbf{q}=\mathbf{x} $ ? 也就是說，是否可以通過交易可用資產來獲得這種回報？
在數學語言中，問題是矩陣的等級是多少（= 其列所跨越的空間維度）？排名只是線性獨立列的數量（資產收益）。如果矩陣 $ A $ 有滿秩，每一次收益都可以複製，市場是完整的。完整性實際上僅意味著對於每種自然狀態都有一個（線性獨立）資產。顯然，當我們談論跨越時，我們只關心線性獨立列。注意 $ \text{rank}(A)\leq\min{N,J} $ .
在您的情況下，有兩種自然狀態和三種資產， $ N=2 $ 和 $ J=3 $ . 因此，矩陣的秩最多為 2。如果你的前兩種資產（無風險銀行賬戶和風險股票）具有線性獨立的收益（它們應該），那麼 $ \text{rank}(A)=2 $ 市場是完整的。向模型中添加任意數量的資產都沒有影響，因為所有額外的收益（資產）都是銀行賬戶和原始股票的線性組合。因此，向您的市場添加更多資產可以使其保持完整。
事實上，如果你的市場不完整（因為你的第一個“風險”股票只是一個規模化的銀行賬戶），那麼添加額外的資產實際上可能有助於你的模型完成。你看，資產越多，你的模型就越有可能是完整的。
二項式樹的更多背景知識：使用過濾的原子系統，您將它們拆分為一個週期子模型。在每個子模型中，上述論點都適用，因此，每個子模型都是完整的。結果，整個樹（模型）是完整的。根據資產定價基本定理，一個不允許套利的完全市場具有唯一的等價鞅測度。