使用 Litzenberger-Breeden 方法得出的風險中性 pdf 是否對應於 gamma 並且它的積分對應於 delta？
我使用蝴蝶價格導出了 pdf，曲線看起來就像每次執行時期權的 gamma。
是這種情況還是我錯過了一些東西來獲得期權的定價？
在許多期權定價模型中，期權價格是一階齊次的， $$ C(\lambda S_t,\lambda K)=\lambda C(S_t,K). $$ 此屬性適用於大多數隨機波動率和指數 Lévy 模型。一個大的例外是局部波動率模型。本質上，如果加倍，條件成立 $ S_t $ 也加倍 $ S_T $ （因為，例如， $ S_T=S_te^{X_{T-t}} $ ）。然後， $$ \begin{align} C(\lambda S_t,\lambda K)&=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t[\max{\lambda S_T-\lambda K,0}] \ &=\lambda e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_t[\max{S_T-K,0}]\ &=\lambda C(S_t,K). \end{align} $$
區別於 $ \lambda $ 暗示 $$ \begin{align*} S_t\frac{\partial C}{\partial S_t}+K\frac{\partial C}{\partial K}=C. \end{align*} $$ 這類似於歐拉的齊次函式定理。由於罷工的單調性，我們知道 $ \frac{\partial C}{\partial K}<0 $ .
進一步區分 $ S_t $ 和 $ K $ 暗示 $$ \begin{align*} S_t^2\frac{\partial^2 C}{\partial S_t^2}=K^2\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}. \end{align*} $$ 由於罷工的凸性，我們知道 $ \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}>0 $ .
來自Breeden-Litzenberger (1978)， $$ \begin{align*} q(K) &= e^{rT}\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}\ &= e^{rT}\frac{S_t^2}{K^2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \ &= e^{rT}\frac{S_t^2}{K^2}\Gamma. \end{align*} $$ 因此，您可以看到風險中性密度確實與 gamma 密切相關。你是對的。
請注意，方程 $ S_t^2\frac{\partial^2 C}{\partial S_t^2}=K^2\frac{\partial^2 C}{\partial K^2} $ 和 $ S_t\frac{\partial C}{\partial S_t}+K\frac{\partial C}{\partial K}=C $ 可用於以（幾乎）無模型方式計算 gamma 和 delta，即 $$ \begin{align} \Delta &=\frac{C}{S_t}-\frac{K}{S_t}\frac{\partial C}{\partial K}, \ \Gamma &=\frac{K^2}{S^2_t}\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}. \end{align} $$