和[F噸]=F0E[FT]=F0E[F_T] = F_0暗示p=1-du-dp=1−du−dp = frac{1-d}{u-d}?或暗示？
根據Hull’s OFOD 的第 12 章，我們計算期貨合約的風險中性機率：
稍後在第 17 章中，對期貨期權進行估值，我們得到相同的結果：
關於第 16 章和第 17 章，我的衍生品定價教授給了我們這個練習：
證明，在風險中性的世界中， $ E[F_T] = F_0 $
我猜， $ F_T $ 是隨機變數 st
$$ F_T = 1_{A}F_0u + 1_{A^C}F_0d $$ 在哪裡 $ A $ 是與案例 1 對應的事件。
解決方案：
$$ E[F_T] = pF_0u + (1-p)F_0d $$ $$ = \frac{1-d}{u-d}F_0u + \frac{u-1}{u-d}F_0d = F_0 $$
這似乎很奇怪。在我看來，我們知道的原因似乎是 $ p = \frac{1-d}{u-d} $ 是因為 $ E[F_T] = F_0 $ 基於’如果 $ F_0 $ 是初始期貨價格，在一個時間步長結束時的預期期貨價格 $ \Delta t $ 也應該是 $ F_0 $ ’ 來自第 12 章。
Iirc，我的教授說我們之所以有“如果 $ F_0 $ 是初始期貨價格，在一個時間步長結束時的預期期貨價格 $ \Delta t $ 也應該是 $ F_0 $ ’ 是因為所說的練習來自 $ p = \frac{1-d}{u-d} $ .
那麼我們如何得到 $ p = \frac{1-d}{u-d} $ 沒有 $ E[F_T] = F_0 $ ?
在第 12 章和第 17 章的兩個文本中，似乎 $ E[F_T] = F_0 $ 是一個假設。我錯了嗎？是 $ E[F_T] = F_0 $ 不是第 17 章中的假設？所以 $ E[F_T] = F_0 $ 來自第 17 章？這似乎與赫爾非常不一致：
第 12 章命題： $ E[F_T] = F_0 \to p = \frac{1-d}{u-d} $
第 17 章命題： $ p = \frac{1-d}{u-d} \to E[F_T] = F_0 $
?
正如我所評論的，我認為這只是證明兩個陳述是等價的一種方法，即當暗示是雙向的。沒有定義之類的東西，這完全取決於您所做的假設。
實際上，更一般的觀點可能如下： $ u $ 和 $ d $ 被定義為在一段時間後資產獲得 $ u $ 有機率 $ \hat{p} $ 和 $ d $ 有機率 $ (1-\hat{p}) $ . 那麼下面的命題成立：
$$ \begin{equation} \forall \hat{p}\hspace{0.5cm}\exists p\in\mathbf{R}\hspace{0.2cm};\hspace{0.2cm}puF_0 + (1-p)dF_0 = F_0 \end{equation} $$ 這在數學上稱為度量變化。然後通過設置獲得風險中性度量 $ \hat{p}=\frac{1}{2} $ .
您應該將其視為一種工具，而不是“真實”的東西，因為實際上這是一種與其他任何方法一樣的度量變化，在“真實”世界中沒有風險中性機率，它是人為的。
讓我們首先使您的問題更嚴格。認為， $ F_t $ 是基礎證券的未來價格 $ S_t $ , 時成熟 $ T $ . 現在你需要證明，
$$ \mathbb{E}(F_\tau)=F_t, \quad \forall \tau \in [t, T] $$ 通過使用無套利原則（創建複製投資組合），可以很容易地證明：
$$ F_t = S_t e^{r(T-t)}=\mathbb{E}\mathbb{Q}[S_T|S_t] $$ 在哪裡， $ \mathbb{Q} $ 代表風險中性度量。能在時間寫，未來的價格 $ \tau \in [t,T] $ 作為， $$ F\tau=S_\tau e^{r(T-\tau)} $$ 以上未來價格 $ F_\tau $ 代表當時的實際未來價格 $ \tau $ . 我們想要表達 $ \mathbb{E}(F_\tau|\mathscr{F}t) $ . 假設我們仍然在時間，只需在最後一個等式中對兩邊都進行期望 $ t $ , 所以兩者 $ F\tau $ 和 $ S_\tau $ 是隨機變數。我們有;
$$ \begin{align} \mathbb{E}(F_\tau)&=e^{r(T-\tau)}\mathbb{E}\mathbb{Q}(S\tau)\ &=e^{r(T-\tau)}S_te^{r(\tau -t)}\ &=S_te^{r(T-t)}\ &=F_t \end{align} $$
注意： $ \mathbb{E}(F_\tau) $ 取決於過濾時間 $ t $ . 它必須寫成 $ \mathbb{E}(F_\tau|\mathscr{F}t) $ ， 代替 $ \mathbb{E}(F\tau) $ .