隱含波動率的經驗等價物
隱含波動率應該顯示標的在接下來的 k 天的波動率，其中 k - 期權的到期日。假設我們的股票價格是 $ S_t $ 和百分比回報是 $ r_t $ . 那麼下面哪個經驗估計應該用來與隱含的 vol 進行比較？
- $ |(S_t - S_{t-k})/S_{t-k}| $
- $ \sqrt{\sum_{t=2}^{t=k}r_t^2} $
我相信 1st 顯示了 k 天的波動性，因為如果現貨回到相同的值，它將等於 0。但是，在這種情況下，第二個（總變異數）實際上代表什麼？
對於經典 Black-Scholes 模型中的期權定價，您假設標的股票遵循幾何布朗運動：
$$ S_t = S_0 + \int_{h=0}^{h=t} S_h \mu dh + \int_{h=0}^{h=t} S_h \sigma dW_h = S_0 \exp \left( \mu t + 0.5 \sigma^2 t + \sigma W(t) \right) $$
獲取上述解決方案的日誌，您將獲得：
$$ \ln\left( \frac{S_t}{S_0} \right) = \mu t + 0.5 \sigma^2 t + \sigma W(t) $$
從上面可以看到日誌返回 $ \ln \left( \frac{S_t}{S_0} \right) $ 正態分佈，均值 $ (\mu t + 0.5 \sigma^2 t) $ 和變異數 $ \sigma^2t $ . 因此，如果您想使用歷史數據來“校準”您的波動率 $ \sigma $ 對於 BS 模型，您需要計算對數返回的標準偏差，而不是簡單的返回。對於“n”天的歷史時間序列，波動率估計公式 $ \hat{\sigma} $ 將會：
$$ \hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{i=n} \ln \left( \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}} \right) $$
$$ \hat{\sigma}^2= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{i=n} \left( \ln \left( \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}} \right) - \hat{\mu} \right)^2 * 260 $$
上面，我們乘以 260，因為我們假設梨年有 260 個交易日，並且我們將對數回報的變異數縮放為年化（因為 Black-Scholes 世界中假設的時間單位是 1 年）。