看跌期權定價公式的等價性
我必須證明：
$$ \begin{equation} P_{t,T}(K)=e^{-r(T-t)} \int_0^{\infty}\left(K-S\right)^+ q_T^S(S)dS \end{equation} $$
相當於： $$ \begin{equation} P_{t,T}(K)=e^{-r(T-t)}\int_{-\infty}^{K}\left(\int_{-\infty}^y q_T^S(z)dz\right)dy \end{equation} $$
Breeden 和 Litzenberger 表明，使用 Leibniz 積分規則並對第一個方程進行兩次微分會導致： $$ \begin{equation} q_T^S(K)=e^{rf(T-t)}\frac{\partial^2P_{t,T}(K)}{\partial K^2}\vert_{K=S_T} \end{equation} $$
但是，我很難以一種優雅的方式直接從第一個方程轉到第二個方程。有誰知道如何實現這一目標？
非常感謝您的幫助！
第一個等式將期權價格表示為取決於資產價格的收益的貼現期望值 $ S \geqslant 0 $ . 不失一般性，我們假設機率密度函式在 $ [0,\infty) $ , 並重寫為
$$ \begin{align} P_{t,T}(K) &=e^{-r(T-t)} \int_{-\infty}^{\infty}\left(K-S\right)^+ q_T^S(S),dS \ &= e^{-r(T-t)} \int_{-\infty}^{K}\left(K-S\right) q_T^S(S),dS \end{align} $$
按部分集成 $ u = K-S $ 和 $ dv = q_T^S(S),dS $ ， 我們有 $ du = -dS $ 和
$$ v = \int_{-\infty}^S q_T^S(z) , dz, $$
這與消失的邊界項產生的結果
$$ P_{t,T}(K) = e^{-r(T-t)} \int_{-\infty}^K \left(\int_{-\infty}^Sq_T^S(z) , dz \right) , dS $$