估計市場上不存在平價期權的平價波動率
我試圖估計行權價格相對稀少的市場中的日內 ATM 波動性，因此可能不存在 ATM 期權（假設最接近的行權價距離現貨價格約 2%）。一種蠻力的方法是擬合波動率模型，例如 SABR 或 Heston，並使用該模型計算 ATM 波動率。我想知道是否有任何其他方法不擬合該模型。這是我嘗試過的：假設我們已經用日終數據擬合了 SABR 模型，並且我們已經獲得了 SABR 參數 $ \alpha, \beta, \rho, \nu $ . 如果罷工 $ K $ 離遠期價格不是太遠 $ f $ ，我們可以使用近似 SABR 波動率
$$ \sigma(K, f) = \frac{\alpha}{f^{1-\beta}}{1 - \frac{1}{2}(1 - \beta - \rho\lambda)\ln(\frac{K}{f}) + \frac{1}{12}[(1-\beta)^2 + (2-3\rho^2)\lambda^2]\ln(\frac{K}{f})^2} $$ 在哪裡 $ \lambda = \frac{\nu}{\alpha}f^{1-\beta} $ . 在這樣的近似下 $ \sigma_{ATM} = \frac{\alpha}{f^{1-\beta}} $ ， 因此 $ \lambda = \frac{\nu}{\sigma_{ATM}} $ . 然後我們可以將上面的等式重寫為， $$ \sigma(K,f) = \sigma_{ATM}{1 - \frac{1}{2}(1 - \beta - \frac{\rho\nu}{\sigma_{ATM}})\ln(\frac{K}{f}) + \frac{1}{12}[(1-\beta)^2 + (2-3\rho^2)\frac{\rho^2\nu^2}{\sigma_{ATM}^2}]\ln(\frac{K}{f})^2} $$ 我們可以直接觀察 $ \sigma(K, f) $ 從市場。如果我們可以假設 $ \beta, \rho, \nu $ 一整天都是不變的（或者我們可以嗎？），我們可以解決 $ \sigma_{ATM} $ . 但是，我對上述結果不是很滿意，因為它有很多近似值和假設。我想知道我是否可以做些什麼來改善我的結果，或者有更好的方法來做到這一點。
如果您有一些期權報價，最好是 ATM 周圍的一些報價，以及一些在看漲期權和看跌期權中的報價，那麼您可能想嘗試使用 SVI 來平滑 IV 微笑（從而獲得 ATM IV 的值） . SVI校準也比較快，所以你不需要使用過時的參數，你可以在日內更新參數到可用的報價。
雖然 SVI 並不總是無套利，但我相信現在 SVI 的增強功能可以保證無套利平滑。
使用三次樣條或更糟的是，當 SVI 沒有被市場報價時，它在尋找平價 (ATM) 波動性時是多餘的：這兩種方法都是全球性的，因為其中一個報價的微小變化遠離貨幣對平價隱含波動率的影響不小。是的，一種解決方案是截斷所考慮的期權行使價範圍，但是當一個簡單的拋物線可以做到時，為什麼還要使用如此復雜的算法呢？以下是Le Floc’h 和 Kennedy的Explicit SABR Calibration Through Simple Expansions第 4.3 節的摘錄：
最簡單的是用座標將拋物線擬合到前鋒周圍最近的三個點 $ (z_{-1}, \hat{\sigma}{-1}), (z_0,\hat{\sigma}0), (z{1},\hat{\sigma}1) $ . 這相當於非均勻網格上的 3 點有限差分。然後我們有： $$ \begin{align} \sigma_0 &= z_0 z_1 w{-1} \hat{\sigma}{-1} + z_{-1} z_1 w_{0} \hat{\sigma}{0} + z{-1} z_0w_{1} \hat{\sigma}{1}\ \sigma_0’ &= -(z_0 + z_1) w{-1} \hat{\sigma}{-1} - (z{-1}+ z_1) w_{0} \hat{\sigma}{0} - (z{-1}+ z_0)w_{1} \hat{\sigma}{1}\ \sigma_0’’ &= 2 w{-1} \hat{\sigma}{-1} +2 w{0} \hat{\sigma}{0} + 2w{1} \hat{\sigma}{1} \end{align} $$ 和 $$ \begin{align} w{-1} &= \frac{1}{(z_{-1}-z_{0})(z_{-1}-z_{1})}\ w_{0} &= \frac{1}{(z_{0}-z_{-1})(z_{0}-z_{1})}\ w_{1} &= \frac{1}{(z_{1}-z_{-1})(z_{1}-z_{0})} \end{align} $$
這 $ \sigma_0 $ 是您的 ATM 卷。這 $ z_i $ 是圍繞 ATM 考慮的三個選項的貨幣性或對數貨幣性。如果您想在 ATM 周圍包含更多點，本文還詳細介紹了最小二乘方法。最後，在我的《股票衍生品應用量化金融》一書中進一步探討了該主題（一般第 5 章，SABR 第 5.4.2 節）