歐洲看漲期權delta推導
讓我們寫 $ S(T) = S_T $ 和 $ S(0) = S_0 $ . 我們要計算 $ \frac{d}{dS_0}\mathbb{E}[f(S_T)] $ . 根據之前的討論，這等於
$$ \mathbb{E}{S_0}\left[f(S_T)\frac{g’{S_0}(S_T)}{g_{S_0}(S_T)}\right] $$ 在哪裡 $ f(S_T) = e^{-rT}(S_T - K)^{+} $ . 我們需要找到 $ g_{S_0}(S_T) $ , 的密度 $ S_T $ 這是由$$ g(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt(T)}\phi\left(\frac{ln(x/S_0) - (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right) $$在哪裡 $ \phi $ 是標準正態密度。在我的筆記中，它指出通過代數和微積分$$ \frac{g’{S_0}(x)}{g{S_0}(x)} = \frac{ln(x/S_0) - (r - \sigma^2/2)T}{S_0 \sigma^2 T} $$ 我有點困惑，但符號的混合 $ g(x) $ 和 $ g_{S_0}(x) $ ，我想通過“代數和微積分”展示這個細節來說服自己這是真的。這不是家庭作業的練習，我只是不明白不允許我繼續進行的符號。任何建議或意見表示讚賞。
嘗試推導：
通過一些代數，我能夠擴展 $ g(x) $ :
$$ \begin{align*} g(x) &= \frac{1}{x\sigma\sqrt(T)}\phi\left(\frac{ln(x/S_0) - (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)\ &= \frac{1}{x\sigma\sqrt{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\left(\frac{ln(x/S_0) - (r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)^2/2\right)\ &= \frac{1}{x\sigma\sqrt{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{r}{2\sigma^2} + \frac{ln(x/S_0)}{2\sigma^2 T} + \frac{1}{4}\right) \end{align*} $$ 因此，$$ g’(x) = \frac{ \exp\left(-\frac{r}{2\sigma^2} + \frac{ln(x/S_0)}{2\sigma^2 T} + \frac{1}{4}\right)}{2\sqrt{2\pi}\sigma^3 T^{3/2}x^2} - \frac{ \exp\left(-\frac{r}{2\sigma^2} + \frac{ln(x/S_0)}{2\sigma^2 T} + \frac{1}{4}\right)}{\sqrt{2\pi}\sigma\sqrt{T}x^2 } $$ 正如你所看到的，這似乎變成了代數的噩夢。除非我做錯了什麼，否則我看不到我們將如何得到
$$ \frac{g’{S_0}(x)}{g{S_0}(x)} = \frac{ln(x/S_0) - (r - \sigma^2/2)T}{S_0 \sigma^2 T} $$
在您的推導中可以觀察到兩個問題。首先，我們注意到
$$ \begin{align*} \exp\left(-\left(\frac{\ln(x/S_0) - (r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)^2/2\right)\color{red}{\ne} \exp\left(-\frac{r}{2\sigma^2} + \frac{\ln(x/S_0)}{2\sigma^2 T} + \frac{1}{4}\right). \end{align*} $$ 其次，導數（即增量）是關於 $ S_0 $ 代替 $ x $ . 事實上，對於 $$ \begin{align*} g(S_0, x) &= \frac{1}{x\sigma\sqrt{T}}\phi\left(\frac{\ln(x/S_0) - (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)\ &=\frac{1}{x\sigma\sqrt{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\left(\frac{\ln(x/S_0) - (r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)^2/2\right), \end{align*} $$ 可以很容易地驗證 $$ \begin{align*} \frac{\partial g(S_0, x)}{\partial S_0} &= g(S_0,x), \frac{\ln(x/S_0) - (r-\sigma^2/2)T}{S_0\sigma^2T}. \end{align*} $$