歐洲看漲期權 Delta 上限
對於純股權過程（利率、股息等為零）不一定是幾何布朗運動，歐式看漲期權的 delta 始終不高於 $ 1 $ ? 我不是要 Black-Scholes delta，而是歐洲呼叫 delta 的無模型一般屬性。我們可以考慮這個問題，無論是否存在預期基礎價格應該是目前價格的鞅屬性。
我還在這里以更正式的方式將這個問題表述為變分法或線性規劃問題。
這是錯誤的。這是一個例子。讓 $$ dS_t = rS_t dt + f(S_0) S_t dW_t, $$ $$ dB_t = r dt. $$ 然後價格是具有波動性的 Black-Scholes 價格 $ f(S_0). $ delta 是 BS delta plus $$ f’(S_0) \times \operatorname{BS Vega}. $$ 採摘 $ f $ 適當地，我們可以使 Delta 盡可能大。
請注意，該範例是高度人為的，因為波動率是 $ S_0 $ 而不是 $ S_t. $
在任何無套利模型中，您都可以定義 BS 隱含波動率 $ \sigma_{BS}(S;T,K) $ 通過將呼叫價格寫為
$$ C_{Mdl}(S;T,K) = C_{BS}(S;T,K;\sigma_{BS}(S;T,K)) $$ 所以模型的 Delta 是 $$ \Delta_{Mdl}(S;T,K) = \partial_S C_{Mdl}(S;T,K) = \Delta_{BS} + Vega_{BS} \times \partial_S\sigma_{BS} $$ 第二項是修正項，對應於模型中隱含 vol 曲面的動態。如果 $ \partial_S\sigma_{BS} $ 足夠正（分別為負），您的看漲期權（分別為看跌期權）的模型增量將大於 1（分別低於 -1）。 數量 $ \partial_S\sigma_{BS} $ 有時被稱為模型的主幹。Derman 引入的波動率制度可以看作是該數量的模型外規範。
PS：如果你想要一個具體的例子，我建議看一個隨機波動率模型，即現貨和瞬時波動率之間的相關性非常高/低。在 Heston 模型中，您有一個半封閉形式的呼叫價格，因此您應該能夠稍微明確地計算模型 delta 並證明它不受 1 的限制。