有回報的歐式期權X2噸X噸2X_T^2
我被要求為一個有回報的歐式期權定價 $ H(X_T,T) = X_T^2 $ 使用等效鞅測度 (EMM)。
為此，我使用了以下過程：
$$ \begin{equation} dX_t = r X_t dt + \sigma X_t d\tilde{B}_t \end{equation} $$
這是 EMM 中的幾何布朗運動。
對於我們的定價：
$$ \begin{equation} E[e^{-r(T-t)}f(X_T)|\mathfrak{F}_s] = e^{-r(T-t)}E\left[\left(X_t e^{(r - \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t) + \sigma \omega \sqrt{T-t}}\right)^2|\mathfrak{F}_t\right] \end{equation} $$
在哪裡 $ \tilde{B}{T-t} $ 被替換為 $ \omega \sqrt{T-t} $ 作為 $ \tilde{B}{T-t} \sim \mathcal{N}(0,T-t) $ .
期望值的條件可以被視為過程是被測鞅 $ Q $ 因此可以計算出期望值，這就是我卡住的地方。我有以下。
$$ \begin{equation} \begin{aligned} e^{-r(T-t)}E\left[\left(X_t e^{(r - \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t) + \sigma \omega \sqrt{T-t}}\right)^2|\mathfrak{F}t\right] = e^{-r(T-t)}E\left[\left(X_t e^{(r - \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t) + \sigma \omega \sqrt{T-t}}\right)^2\right] \ = e^{-r(T-t)} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{R} \left(X_t e^{(r - \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t) + \sigma \omega \sqrt{T-t}}\right)^2 e^{-\frac{1}{2} \omega^2}d\omega \ = e^{-r(T-t)} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{R} X_t^2 e^{(2r - \sigma^2)(T-t) + 2\sigma \omega\sqrt{T-t}-\frac{1}{2}\omega^2}d\omega \ = e^{r(T-t)}X_t^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_R e^{-\sigma^2(T-t) + 2\sigma\omega\sqrt{T-t} - \frac{1}{2}\omega^2} d\omega \end{aligned} \end{equation} $$
在正常的回報中 $ (X_T - K)^+ $ 我們會 $ \omega $ 其中積分是正數，然後將所有因素都計入指數。但在這種情況下，我不確定如何繼續，因為我沒有看到積分的簡單解決方案。
渴望評論
這個問題應該結束，因為它是一個基本的財務問題。
根據我的第一條評論中給出的提示，積分 $$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb R e^{-\sigma^2(T-t) + 2\sigma\omega\sqrt{T-t} - \frac{1}{2}\omega^2} d\omega \end{align} $$ 是–設置 $ a=2\sigma\sqrt{T-t} $ 和 $ \frac{a^2}{2}=2\sigma^2(T-t) $ – $$ \boxed{e^{-\sigma^2(T-t)+2\sigma^2(T-t)}\underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb R e^{a\omega-\frac{a^2}{2} - \frac{1}{2}\omega^2} d\omega}_{=1}=e^{\sigma^2(T-t)}.} $$