未來時間的預期收益
讓 $ a $ , $ b $ , $ c $ ， 和 $ e $ 是常數， $ W_1 $ 和 $ W_2 $ 是具有相關性的布朗運動 $ \rho $ ， 和 $ f(t) $ 和 $ g(t) $ 是時間的確定性函式。讓 $ X $ 滿足$$ d(X(t))=(aX(t)+ef(t)g(t))dt+f(t)X(t)dW_1(t)+g(t)X(t)dW_2(t). $$計算期望值 $ X(T)^2 $ 給定 $ X(t) $ 對於一些 $ 0\le t\le T $ .
如果 $ e=0 $ ，我們可以用伊藤法則寫成 $ d(\log X) $ 作為獨立於的表達式 $ X $ . 積分給出了 $ X(T)|X(t) $ 是對數正態的。如果 $ e\neq 0 $ , $ d(\log X) $ 不再獨立於 $ X $ . 我想不出解決這個問題的辦法。
基於這個問題的想法，讓 $$ \begin{align*} M_t = e^{-at+\frac{1}{2}\int_0^t (f^2+g^2+2\rho fg)ds -\int_0^t(f dW_1(s)+gdW_2(s))}. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} dM_t = M_t\Big[\big(-a + f^2+g^2 + 2\rho fg \big)dt - f dW_1(t)- gdW_2(t)\Big]. \end{align*} $$ 而且， $$ \begin{align*} d(M_tX_t) &= M_t dX_t + X_t dM_t + d\langle M, X\rangle_t\ &=e M_t f g dt. \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} X_T = \frac{M_t}{M_T}X_t + e\int_t^T\frac{M_s}{M_T} f(s)g(s)ds. \end{align*} $$ 現在，您應該能夠計算條件期望。