找到支付衍生品價格的公式最大(小號噸(小號噸-K),0)max(ST(ST−K),0)max(S_T(S_T-K),0)
制定衍生品支付價格的公式
$$ \max(S_T(S_T-K)) $$
在布萊克斯科爾斯模型中。
顯然，這個問題的訣竅是計算庫存量度下的期望值。所以，
$$ \frac{C_0}{S_0} = \mathbb{E}[\frac{S_T\max{(S_T-K,0)}}{N_T}] $$
並採取 $ N_T = S_T $ . 我們可以把這個期望分成兩部分，
$$ \mathbb{E}{new}[\max(S_T-K,0)] = \mathbb{E}{new}[S_T\mathbb{I}{S_T>K}] - \mathbb{E}{new}[K\mathbb{I}_{S_T>K}] $$
關注第二項，我們可以證明最終股票價格分佈在股票度量中，
$$ S_T = S_0 \exp{{ (r+\frac{\sigma^2}{2})T +\sigma \sqrt{T} N(0,1) }}\tag{1} $$
然後我們有 $ \mathbb{E}{new}[K\mathbb{I}{S_T>K}] = K \mathbb{P}(S_T > K) = K N(d_1) $ .
現在專注於 $ \mathbb{E}{new}[S_T\mathbb{I}{S_T>K}] $ ，我們可以將期望重寫為積分，
$$ \mathbb{E}{new}[S_T\mathbb{I}{S_T>K}] = \frac{S_0}{\sqrt{2\pi}} \int^{\inf}_l \exp{\frac{-x^2}{2}}\exp{(r+\frac{\sigma^2}{2})T+\sigma\sqrt(T) x} dx\tag{2} $$
和
$$ l = \frac{\ln(k/S_0)-(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} $$
- 怎麼了 $ (1) $ 衍生出來的？我們如何從正常計價的股票價格分佈中走出來 $ S_t = S_0 \exp{{ (r-\frac{\sigma^2}{2})T +\sigma \sqrt{T}W_t }} $ 至 $ (1) $ ? 能否詳細解釋一下，因為這是理解如何解決這些問題的關鍵。我需要了解所有活動元件是如何咬合在一起的。
- 最後一個等式是如何得出的？我猜是 $ \mathbb{P} $ 是不同的，但我又看不到如何推導它。另外，能否詳細說明一下 $ d_1 $ 進入其中。
- 這個積分是如何得出的？我看不到在哪裡 $ \exp{\frac{-x^2}{2}} $ 進入積分，這似乎是來自某個地方的一些分佈。
我分三步提供解決方案。
- 第一步仔細概述瞭如何分解期望以及使用了哪些新措施。這第一步不需要任何特殊的模型假設，並且在一個非常通用的框架中成立。我推導出了一個類似於標準 Black-Scholes 公式的期權價格公式。
- 在第二步中，我假設股票價格遵循幾何布朗運動，並使用 Girsanov 定理推導出所有涉及的（機率）項的精確公式。但是，我想提出一種更優雅的方法，它不需要整合高斯密度。這只是毫無意義的乏味，並且使將方法推廣到其他流程變得更加困難。
- 第三部分陳述 Girsanov 定理，將其與計價變化聯繫起來，並概述這種變化如何影響股票價格的漂移。
一般貨幣兌換
正如您所說，關鍵是 Geman等人最初概述的數值變化。（1995 年）。標準風險中性度量 ( $ \mathbb Q $ 或者 $ \mathbb Q^0 $ ) 使用（本地）無風險銀行賬戶， $ B_t=e^{rt} $ , 作為計價。我們可以很容易地允許一般利率過程 $ B_t=\exp\left(\int_0^t r_s\mathrm{d}s\right) $ . 我們定義了一個新的機率測度， $ \mathbb Q^1\sim\mathbb Q^0 $ 它使用股票價格， $ S_t $ 作為現金。新措施， $ \mathbb Q^1 $ , 定義為
$$ \begin{align*} \frac{\mathrm{d}\mathbb Q^1}{\mathrm d\mathbb Q^0} = \frac{S_T}{S_0}\frac{B_0}{B_T}=\frac{S_T}{S_0}e^{-rT}. \end{align*} $$
如果股票按利率支付股息 $ \delta $ ，你使用再投資的股票價格， $ S_te^{\delta t} $ ，作為現金。
那麼您的期權價格為
$$ \begin{align*} e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max{S_T^2-KS_T,0}] &=e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^1}\left[\frac{\mathrm{d}\mathbb Q^0}{\mathrm d\mathbb Q^1}\max{S_T^2-KS_T,0}\right] \ &= S_0\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^1}\left[\max{S_T-K,0}\right] \ &= S_0\left(\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^1}[S_T\mathbb{1}{{S_T\geq K}}] -K\mathbb{E}^{\mathbb Q^1}[\mathbb{1}{{S_T\geq K}}]\right) \ &= S_0\left(\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^1}[S_T\mathbb{1}_{{S_T\geq K}}] -K\mathbb Q^1[{S_T\geq K}]\right). \end{align*} $$
為了計算第一個期望，我們（再次）使用了 numéraire 的變化。我關注Mark Joshi 的這篇很棒的論文。讓 $ N_{t,T}^\alpha $ 是時候- $ t $ 支付資產（索賠）的價格 $ S_T^\alpha $ 有時 $ T $ . 由於 Jensen 不等式， $ N_{t,T}^\alpha\neq S_t^\alpha $ 如果 $ \alpha\neq0,1 $ . 當然選擇有限制 $ \alpha $ . 如果 $ \alpha $ 太大了，那麼 $ S_t^\alpha $ 可能不可積（特別是如果您的股票價格模型包含肥尾）。所以，現在我們只是假設 $ \alpha $ 選擇得當。然後，
$$ \begin{align*} \frac{\mathrm{d}\mathbb Q^\alpha}{\mathrm d\mathbb Q^0} = \frac{N_{T,T}^\alpha B_0}{N_{0,T}^\alpha B_T} . \end{align*} $$
因此，
$$ \begin{align*} \frac{\mathrm{d}\mathbb Q^\alpha}{\mathrm d\mathbb Q^1} =\frac{\mathrm{d}\mathbb Q^\alpha}{\mathrm d\mathbb Q^0} \frac{\mathrm{d}\mathbb Q^0}{\mathrm d\mathbb Q^1} = \frac{N_{T,T}^\alpha B_0}{N_{0,T}^\alpha B_T} \frac{S_0B_T}{S_TB_0} = \frac{S_{T}^\alpha}{N_{0,T}^\alpha } \frac{S_0}{S_T}. \end{align*} $$
使用 $ \alpha=2 $ ， 我們獲得
$$ \begin{align*} \mathbb E^{\mathbb Q^1}[S_T\mathbb 1_{{S_T\geq K}}] = \frac{N_{0,T}^2}{S_0}\mathbb E^{\mathbb Q^2}[\mathbb 1_{{S_T\geq K}}] =\frac{N_{0,T}^2}{S_0}\mathbb Q^2[{S_T\geq K}]. \end{align*} $$
因此，最終期權價格為 $$ e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max{S_T^2-KS_T,0}] = N_{0,T}^2\mathbb Q^2[{S_T\geq K}] - KS_0\mathbb Q^1[{S_T\geq K}], $$
這與布萊克-斯科爾斯公式非常相似。這也暗示了一般電力期權價格的公式是怎樣的。
布萊克-斯科爾斯模型
要實際實現上述等式，我們需要找到表達式 $ \mathbb Q^\alpha[{S_T\geq K}] $ 和 $ N_{t,T}^\alpha $ . 這些公式將取決於所選的股票價格模型。在這裡，我們選擇最簡單的一種，即具有對數正態分佈股票價格的 Black-Scholes 設置。
讓我們從更簡單的問題開始：賠付的價格 $ S_T^\alpha $ . 使用標準風險中性定價和鞅屬性 $ \mathbb{E}[e^{\sigma W_t}|\mathcal{F}s]=e^{\frac{1}{2}\sigma^2(t-s)+\sigma W_s} $ ， 我們獲得 $$ \begin{align*} N{t,T}^\alpha &= e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^{\mathbb Q}[S_T^\alpha|\mathcal{F}_t] \ &= e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^{\mathbb Q}\left[S_0^\alpha\exp\left(\alpha\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T+\alpha\sigma W_T \right)\bigg|\mathcal{F}_t\right] \ &= e^{-r(T-t)}S_0^\alpha\exp\left(\alpha\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T+\frac{1}{2}\alpha^2\sigma^2(T-t)+\sigma\alpha W_t\right) \ &= e^{-r(T-t)}S_t^\alpha\exp\left(\alpha\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)+\frac{1}{2}\alpha^2\sigma^2(T-t)\right) \ &= S_t^\alpha \exp\left((T-t)(r(\alpha-1)+0.5\sigma^2(\alpha^2-\alpha)\right) \end{align*} $$
當然，價格 $ N_{t,T}^\alpha $ 是對數正態分佈的。順便說一句，使用伊藤引理，我們得到 $ \mathrm{d}N_{t,T}^\alpha=rN_{t,T}^\alpha\mathrm{d}t+\alpha\sigma N_{t,T}^\alpha\mathrm{d}W_t $ .
總而言之，我們需要計算運動機率 $ \mathbb{Q}^\alpha[{S_T\geq K}] $ . 在下面 $ \mathbb{Q} $ , 股價有漂移 $ r $ 和下 $ \mathbb Q^1 $ , 股價有漂移 $ r+\sigma^2 $ ，請參閱這個出色的答案和這個問題以獲得直覺的解釋。在下面 $ \mathbb Q^\alpha $ , 股價有漂移 $ r+\alpha\sigma^2 $ . 我在這個答案的第三部分詳細解釋了這一點。
現在，讓我們接受上述漂移變化。讓 $ S_T $ 是任意機率測度下的幾何布朗運動 $ \mathcal{P} $ （這可能是現實世界的衡量標準 $ \mathbb P $ , 風險中性測度 $ \mathbb Q $ 或庫存量度 $ \mathbb Q^\alpha $ ）。然後， $ S_T=S_0\exp\left(\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T+\sigma W_T\right) $ ， 在哪裡 $ \mu $ 是相應測量下的漂移 $ \mathcal{P} $ . 因此，使用那個 $ W_T\sim N(0,T) $ , $$ \begin{align*} \mathcal{P}[{S_T\geq K}] &= \mathcal{P}[{\ln(S_T)\geq\ln(K)}] \ &=\mathcal{P}\left[\left{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T+\sigma W_T \geq -\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)\right}\right] \ &=\mathcal{P}\left[\left{ Z \geq -\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+ \left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T }{\sigma \sqrt{T}}\right}\right] \ &=1-\Phi\left(-\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+ \left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T }{\sigma \sqrt{T}}\right)\ &=\Phi\left(\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+ \left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T }{\sigma \sqrt{T}}\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ Z\sim N(0,1) $ . 我使用了該物業 $ \Phi(x)=1-\Phi(-x) $ .
取決於我們使用的衡量標準 $ \mathcal{P} $ ，我們只需要正確的漂移。例如，在 $ \mathbb{Q}^\alpha $ ， 我們用 $ r+\alpha\sigma^2 $ 作為漂移（ $ \mu $ ) 的股票價格。因此， $$ \begin{align*} \mathbb{Q}^\alpha[{S_T\geq K}] = \Phi\left(\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+\left(r+\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)\sigma^2\right)T}{\sigma\sqrt{T}}\right). \end{align*} $$
我們恢復特殊情況 $ \mathbb Q^1[{S_T\geq K}]=\Phi(d_1) $ 和 $ \mathbb Q^0[{S_T\geq K}]=\Phi(d_2) $ .
我完全推薦閱讀Joshi 的論文，其中包含更多細節和數值變化的應用，包括 Black-Scholes 模型的介紹部分！
吉爾薩諾夫定理
我將首先陳述 Girsanov 定理，並使用計價公式的變化向您展示如何在兩個風險中性機率測度之間切換。然後，我將描述這種變化如何影響股價的漂移。
我引用了Björk 的書 Theorem 12.3中的（一維）Girsanov 定理。作為替代方案，請參閱Shreve或任何其他關於隨機微積分的教科書。
讓 $ (\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t),\mathbb{P}) $ 是一個帶有標準布朗運動的過濾機率空間 $ W_T^\mathbb{P} $ . 讓 $ \varphi_t $ 是一個適應的過程（“定價核心”）。定義 $ \mathrm{d}L_t=\varphi_tL_t\mathrm{d}W_t^\mathbb{P} $ 和 $ L_0=1 $ 這樣 $ L_t=\exp\left(\int_0^t \varphi_s\mathrm{d}W_s^\mathbb{P}-\frac{1}{2}\int_0^t \varphi_s^2\mathrm{d}s\right)=\mathcal{E}\left(\int_0^t \varphi_s\mathrm{d}W_s^\mathbb{P}\right) $ . 假使，假設 $ \mathbb{E}^\mathbb{P}[L_T]=1 $ . 我們定義了一個新的機率測度 $ \mathbb{Q} $ 上 $ \mathcal{F}_T $ 通過 $ \frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm d\mathbb{P}}=L_T $ . 然後， $ \mathrm{d}W_t^\mathbb{P}=\varphi_t\mathrm{d}t+\mathrm{d}W_t^\mathbb{Q} $ 在哪裡 $ W^\mathbb{Q} $ 是一個 $ \mathbb{Q} $ -布朗運動。
這裡 $ \mathcal{E} $ 是Doléans-Dade 指數。為了完整起見，我重複了numéraire公式的變化。讓 $ B_t $ 是我們的標準 numéraire（銀行賬戶）的價格與機率測度 $ \mathbb Q=\mathbb Q^0 $ . 讓 $ N_t $ 成為一個新的定價過程。對應的鞅測度 $ \mathbb{Q}^N $ 通過定義 $$ \frac{\mathrm d\mathbb{Q}^N}{\mathrm d \mathbb{Q}} = \frac{N_TB_0}{N_0B_T}. $$
範例 1：讓 $ B_t=e^{rt} $ 和 $ N_t=S_t $ . 這意味著我們從標準的風險中性度量轉換 $ \mathbb Q=\mathbb Q^0 $ 到庫存量度 $ \mathbb Q^1 $ . 因此， $ \frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}^1}{\mathrm{d}\mathbb{Q}^0} = \frac{S_T}{S_0e^{rT}} =e^{-\frac{1}{2}\sigma^2T+\sigma W_T^{\mathbb Q^0}}=\mathcal{E}(\sigma W_T^{\mathbb Q^0}) $ . 我使用上標來突出顯示 $ W_t^{\mathbb Q^0} $ 是關於風險中性測度的標準布朗運動 $ \mathbb{Q}^0 $ . 在吉爾薩諾夫定理的意義上， $ \varphi_t \equiv\sigma $ . 因此， $ \mathrm{d}W_t^{\mathbb Q^0}=\sigma \mathrm{d}t+\mathrm{d}W_t^{\mathbb Q^1} $ . 這與 Gordon在這裡推導出的（他稱之為新布朗運動 $ \hat{W_t} $ 代替 $ W_t^{\mathbb Q^1} $ ).
範例 2：讓 $ B_t=e^{rt} $ 新的計價方式是 $ N_{t,T}^\alpha $ ， 時間- $ t $ 支付資產的價格 $ S_T^\alpha $ 有時 $ T $ . 因此， $ \frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}^\alpha}{\mathrm{d}\mathbb{Q}^0} = \frac{S_T^\alpha}{S_0^\alpha e^{rT}} =e^{-\frac{1}{2}\alpha^2\sigma^2 T+\alpha\sigma W_T^{\mathbb Q^0}}=\mathcal{E}(\alpha\sigma W_T^{\mathbb Q^0}) $ . 在吉爾薩諾夫定理的意義上， $ \varphi_T \equiv\alpha\sigma $ . 因此， $ \mathrm{d}W_t^{\mathbb Q^0}=\alpha\sigma \mathrm{d}t+\mathrm{d}W_t^{\mathbb Q^\alpha} $ .
好的，從 numéraire 變化開始，我們可以使用 Girsanov 定理來改變兩個機率測度之間的布朗運動。現在股票的漂移如何變化？
好吧，在風險中性措施下 $ \mathbb Q^0 $ ， 我們有 $ \mathrm{d}S_t=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t^{\mathbb{Q}^0} $ . 而我們現在能夠表達 $ \mathrm{d}W_t^{\mathbb{Q}^0} $ 在新措施下 $ \mathbb{Q}^1 $ . 因此， $$ \begin{align*} \mathrm{d}S_t&=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t^{\mathbb{Q}^0} \ &=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\left( \sigma \mathrm{d}t+\mathrm{d}W_t^{\mathbb Q^1}\right) \ &=(r+\sigma^2)S_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t^{\mathbb Q^1}. \end{align*} $$
相似地， $$ \begin{align*} \mathrm{d}S_t&=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t^{\mathbb{Q}^0} \ &=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\left( \alpha\sigma \mathrm{d}t+\mathrm{d}W_t^{\mathbb Q^\alpha}\right) \ &=(r+\alpha\sigma^2)S_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t^{\mathbb Q^\alpha}. \end{align*} $$
開始了。標準風險中性測度下的股價漂移為 $ r $ 在庫存量度下， $ \mathbb Q^\alpha $ ，這種漂移變為 $ r+\alpha\sigma^2 $ .