使用兩期二項式模型計算看跌期權的價值
我被要求找到一個帶有執行價格的兩個月歐式看跌期權的價格 $ £40 $ .
價格在 $ S_0=£30 $ , 這可以上升到 $ £40 $ 或下降到 $ £25 $ ( $ 1/3 $ 上升的機會， $ 2/3 $ 有機會下降）。
如果 $ S_1=£40 $ 然後它可以再次上升到 $ £55 $ 或下降到 $ £35 $ ( $ 1/4 $ 上升的機會， $ 3/4 $ 有機會下降）。
如果 $ S_1=£25 $ 然後它可以上升到 $ £36 $ 或再次下降到 $ £20 $ ( $ 5/16 $ 上升的機會， $ 11/16 $ 有機會下降）
無風險利率為 $ r=0 $
在問題的前一部分中，我被要求評估具有執行價格的歐式看漲期權 $ £22 $ ，經過一些計算，我發現它的值是 $ £8.92 $ （只是把它放在這里以防萬一，在這部分問題中，我在哪裡計算出二項式模型中的機率）
在問題的另一部分，我還必須制定對沖策略，我發現這是 $ (107/12,109/120,1,7/8) $ （再一次，把它放在這里以防萬一，或者我弄錯了）
現在我需要找到帶有執行價格的歐式看跌期權的價格 $ £40 $ .
我所知道的是： $ N=2, S=£30,r=0,K=£40 $
我在筆記中的公式是： $ P=P(S,K;N) == (K/(1+r)^N){ \sum_{k=0}^{k_0-1} \begin{pmatrix}N\K\end{pmatrix} q_U^k q_D^{N-k}}-S{{\sum_{k=0}^{k_0-1} \begin{pmatrix}N\K\end{pmatrix} \pi_U^k \pi_D^{N-k}}} $
這就是我卡住的地方。自從 $ r=0 $ 我們還能用這個公式嗎？這甚至是用來獲得我正在尋找的東西的正確公式嗎？
我絕不是要求任何人為我將所有數字插入其中並給我答案，我只是想知道這是否是正確使用的公式，還是我在浪費時間？這是我在筆記中可以找到的唯一公式，它提供了一種查找看跌期權價格的方法。
提前致謝
我一直在嘗試理解該公式，但是我看不到如何將其連結到解決方案。原因是我看不到任何與看跌期權的回報有關的東西，例如 $ (K - S_2(w_1 w_2))^+ $ . 我看到 $ K $ 和 $ S $ 期限，但我不知道如何達到這一點。
此外，在二項式係數中，您應該切換 $ K $ 為了 $ k $ . 另外，你能澄清一下 $ q_X $ 和 $ \pi_X $ 參數究竟代表什麼？看起來您的意思是向上或向下機率，但是正如您所看到的那樣，您選擇的機率（或練習中給出的機率）在樹的每個節點上都會發生變化，所以我想那裡缺少一些東西。
我建議你看看這篇維基百科文章，我覺得它很清楚。這些步驟很容易遵循，並且鑑於它只有兩步樹，您可以很容易地看到看跌期權的價格是如何獲得的。
我不記得以前看過那個公式，我也不太明白。我將嘗試完成為期權定價的必要步驟。這絕不是計算價格的最快方法（即使用風險中性機率），但它也應該提供價格的經濟直覺。
期權定價的本質是複制，即我們可以通過股票和銀行賬戶的交易來複製期權。當我們現在複製策略時，我們可以計算該策略的價格，也就是期權的價格。通過假設，問題得到了顯著簡化 $ r=0 $ 因為我們不必打折價值。
如果我們首先考慮到期時的價值。歐式看漲期權在上漲狀態下價值 15 英鎊，而在所有其他經濟狀態下一文不值。因此我們知道，如果股票在第一個月下跌，那麼期權將一文不值到期。
假設我們站在時間 1，股票剛剛上漲到 40 英鎊。通過購買 $ x $ 股票和看跌期權 $ y $ 在銀行賬戶中，我們將能夠複製期權的收益： $$ x \cdot 55 +y =15 $$ $$ x \cdot 35 + y = 0 $$ 應該清楚的是 $ y=-35x $ ，這給了我們 $$ 55x-35x=15\quad\iff\quad x=\frac{15}{20} $$ 所以 $$ y=-\frac{35\cdot 15}{20}=-\frac{525}{20} $$ 這意味著我們必須購買 0.75 股股票並在銀行賬戶中藉入 26.25 股才能複制 1 個看漲期權。
讓我們評估一下： $$ 0.75 \cdot 55-26.25=15 $$ $$ 0.75 \cdot 35-26.25=0 $$ 所以我們認為這種策略給出了與看漲期權完全相同的回報。這意味著如果它們的成本不同，這將是一個套利機會。該策略的成本是 $$ 0.75\cdot 40-26.25=3.75 $$ 因此，看漲期權在上升狀態的時間 1 應該花費 3.75 英鎊。
我們可以做同樣的分析來獲得時間 0 的價格，因為我們現在知道看漲期權在時間 1 處於上漲狀態（3.75）和下跌狀態（0）的價格應該是多少： $$ x\cdot 40+y=3.75 $$ $$ x\cdot 25+y=0 $$ 有溶液 $ x=0.25 $ 和 $ y=-6.25 $ . 這給了我們呼叫價格$$ 0.25\cdot 30 -6.25=1.25 $$
考慮方程 $$ \max(S-K,0)-\max(K-S,0)=S-K $$ $$ \iff $$ $$ \max(K-S,0)=\max(S-K,0)-S+K $$ 這意味著我們可以通過購買看漲期權、賣空一隻股票和看跌期權來複製看跌期權 $ K $ 存入銀行賬戶。這是一個靜態複製，這意味著我們不需要在時間 1 更改我們的頭寸，而在複製看漲期權的情況下我們必須這樣做。
所以看跌期權的價格必須是 $ 1.25-30+40=11.25 $ . 您可以通過直接對看跌期權進行上述分析來得出這個價格，但是看看漲期權要簡單一些，因為二叉樹中的許多元素都是零。