二元期權和偏斜的以下論點存在缺陷
二元期權是 ATM，明天到期。如果普通期權的偏斜變陡（左側向上，右側向下），二元期權的價格會發生什麼變化。
我知道使用我們長期呼叫的複制參數 $ K_1 $ , 撥打電話 $ K_2 $ ， 在哪裡 $ K_1 < K_2 $ . 因此，當偏斜變陡 $ K_1 $ 電話變得更加昂貴，並且電話在 $ K_2 $ 變得更便宜，所以總體價格是二元期權的價格會上漲。
然而，我有一個論點，隨著傾斜變陡，市場表示它預計波動性將在下行（OTM 到期的機會更多）和上行（到期 ITM 的更多變化）方面更高。這意味著二元期權將變得更便宜。這個論點有什麼缺陷，因為這對我來說似乎是合乎邏輯的？
讓 $ f_0(S_T) =f(S_T|S_0) $ 是當時標的資產價格的風險中性 PDF $ T $ （以價格為準 $ S_0 $ 目前 $ t=0 $ ）。價格高於執行價格的機率 $ K $ 有時 $ T $ 是
$$ P(S_T \geqslant K) = \int_K^\infty f_0(x) , dx. $$ 無論分佈的形狀如何（例如對稱、傾斜等），這只是定義性的。它可能是在已知期權價格中隱含的分佈 $ t= 0 $ .
普通看漲期權的價格為 $ t=0 $ , 到期時間 $ T $ 和行使價 $ K $ , 是貼現的風險中性期望值
$$ C(K) = e^{-rT} \int_0^\infty\max(x-K,0) , f_0(x) , dx = e^{-rT} \int_K^\infty(x-K) , f_0(x) , dx. $$ 這裡我們忽略了紅利，並以書面形式抑制了期權價格對其他參數的依賴 $ C(K) $ .
我們可以應用萊布尼茨規則並對積分進行一次微分 $ K $ 獲得
$$ \frac{\partial C}{\partial K} = -e^{-rT}\int_K^\infty f_0(x) , dx \ \implies P(S_T \geqslant K) = - e^{-rT}\frac{\partial C}{\partial K} $$ 在存在隱含波動率偏斜的情況下，基礎分佈不是對數正態分佈。但是，我們可以將期權價格表示為 Black-Scholes 公式的組合，其中隱含波動率（平滑）作為行使價的函式：
$$ C(K) = C_{BS}(K,\sigma(K)). $$ 因此，
$$ P(S_T \geqslant K) = -e^{-rT}\frac{\partial C_{BS}}{\partial K} - e^{-rT}\frac{\partial C_{BS}}{\partial \sigma}\sigma’(K) \tag{*} $$ 通常，對於股票指數，偏斜呈負斜率， $ \sigma’(K) < 0 $ , 和 vega, 的偏導數 $ C_{BS} $ 關於 $ \sigma $ , 為正。
其他都一樣， $ P(S_T \geqslant K) $ 增加為 $ -\sigma’(K) $ 增加——即，偏斜變陡。
如您所見，二進製或數字看漲期權 $ C_D $ 可以根據呼叫價差大致複製
$$ C_{D }(K) \approx \frac{C(K-\delta) - C(K+\delta)}{2\delta}. $$ 隨著罷工蔓延 $ 2\delta $ 傾向於 $ 0 $ 和名義上的 $ 1/(2\delta) $ 趨於無窮大，複製更準確（儘管不切實際）並且
$$ C_D(K) = \lim_{\delta \to 0} \frac{C(K-\delta) - C(K+\delta)}{2\delta} = - \frac{\partial C}{\partial K}. $$ 當然，這表明數字期權價格本身與標的資產在到期時高於行使價的機率直接相關。