浮動罷工回溯三角洲風險
在標的資產的波動（下行）期間，我正在對浮動執行回溯看漲期權（即我做空期權）進行一些 delta 對沖模擬，並導致了一些非常奇怪的事情。
首先，這些選項沒有 Gamma，至少按照對 gamma 的標準理解沒有
$$ \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} $$ 我通過有限差分近似和對解析解的部分微分（混亂！）都獲得了 Gamma 值，並且兩者都為 0。但是，delta 值非常不穩定，並且對沖被粉碎了。所以，我從香草電話的類比中得出了一些想法。
1）如果已知看漲期權低估了上漲的價格上漲並高估了下跌的損失，那麼在下跌的市場中做空delta應該是好的。
2）同樣，沒有伽瑪，至少按照“傳統”度量，或者你想怎麼稱呼它。然而，在動蕩的市場中，做空 gamma（通過做空看漲或看跌）是不好的。
- 對於香草，我們知道 Gamma 對於平價期權來說很高。
現在，這就是我頭腦中事情變得非常奇怪的地方。鑑於，如前所述，我在低迷的市場中對沖空頭看漲期權，浮動行使價回溯期權的結構意味著基本上行使價會不斷重置為標的資產的目前價值。也就是說，在此期間，期權基本上總是平價。因此，我可以選擇具有波動性 delta 的平價期權。所以實際上，對沖的原因與做空 Gamma 可能會遭受空頭對沖的原因相同，但我不是做空 Gamma ……！？
任何人都可以為我澄清這一點，並可能引導我閱讀一些關於對沖浮動回溯期權的文獻嗎？不幸的是，它似乎很稀疏。
謝謝你。
浮動行使價回溯看漲期權僅在其發行日的伽瑪值為零（並且僅假設標的資產具有同質模型）。之後它具有非零 gamma。
到期時的回報 $ T $ 是：
$$ \text{payoff} = S_T - \min {S_u | u \in [0, T]} $$ 現在假設您的底層證券模型與 1 級齊次，即從 $ t $ , $ S_u $ 為了 $ u \geq t $ 正比於 $ S_t $ . 當然，當模型是 Black & Scholes 中的幾何布朗運動時，情況就是如此。 上 $ t=0 $ ,
$$ E_0[\text{payoff}] = E_0[S_T] - E_0[\min {S_u | u \in [0, T]}] = S_0 E_0[S_T/S_0] - S_0 E_0[\min {S_u/S_0 | u \in [0, T]}] $$ 自從 $ S_T/S_0 $ 和 $ S_u/S_0 $ 不依賴 $ S_0 $ , $ E_0[\text{payoff}] $ 是線性的 $ S_0 $ 並且該選項的gamma 為零。 上 $ t>0 $ ,
$$ E_t[\text{payoff}] = E_t[S_T] - E_t[\min {S_u | u \in [0, T]}] = E_t[S_T]- E_t[\min{m_t, \min {S_u | u \in [t, T]}}] $$ 執行最小值在哪裡 $ m_t = \min{S_u | u \in [0, t]} $ 已經知道了。現在 $$ E_t[\text{payoff}] = S_t E_t[S_T/S_t] - S_t E_t[\min{m_t/S_t, \min {S_u/S_t | u \in [t, T]}}] $$ 如您所見，RHS 上的第二項不再與 $ S_t $ 因為 $ m_t/S_t $ 取決於 $ S_t $ . 所以 $ E_t[\text{payoff}] $ 不再是線性的 $ S_t $ 並且該選項具有非零 gamma。 實際上，這意味著您應該將期權價格視為兩者的函式 $ S_t $ 和 $ m_t $ ， 那是 $ C(S, m, t) $ . 當你計算你計算的伽瑪 $ \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S, m, t) $ . 當您使用有限差分近似 gamma 時，您會計算
$$ (C(S+\epsilon, m, t) + C(S-\epsilon, m, t) - 2 C(S, m, t))/\epsilon^2 $$ 那是你移動 $ S $ 經過 $ \pm \epsilon $ 但你沒有改變 $ m $ .