“delta對沖規則”適用於哪些選項？
我正在閱讀 Shreve 的*《金融隨機微積分》，第二卷*。在第 4 章中，他推導出了“delta 對沖規則”：
$$ \Delta(t) = c_x(t, S(t)) \text{ for all } t \in [0, T)\text{.}\tag{1} $$
這表示自籌資金的投資組合 $ X(t) $ 需要複製隨機價格的期權 $ c(t, S(t)) $ 有時 $ t $ ,
$$ X(t) = c(t, S(t))\text{,}\tag{2} $$
需要長 $ c_x(t, S(t)) $ 標的資產的價值，假設資產的價值服從對數正態分佈。
這似乎（對我來說）是適用於許多類別的奇異期權的套期保值問題的非常普遍的解決方案。
然而，在第 5 章中，Shreve 需要 Martingale 表示定理來計算 $ \Delta(t) $ . 在第 223 頁，我們得到
$$ \Delta(t)=\frac{\tilde{\Gamma}}{\sigma(t)D(t)S(t)},\ \ 0 \leq t \leq T\text{.}\tag{3} $$
關於這個公式，他說
本節的鞅表示定理論證了風險中性定價公式 (5.2.30) 和 (5.2.31) 的合理性，但它沒有提供找到對沖投資組合的實用方法 $ \Delta(t) $ . 最終公式
$$ (3) $$為了 $ \Delta(t) $ 涉及被積 $ \tilde{\Gamma}(t) $ 在貼現衍生證券價格的鞅表示（5.3.4）中。雖然鞅表示定理保證這樣的過程 $ \tilde{\Gamma} $ 存在，因此是對沖 $ \Delta(t) $ 存在，它不提供查找方法 $ \tilde{\Gamma}(t) $ . 我們將在第 6 章回到這一點。
我發現這一段令人困惑，因為它似乎沒有承認作者已經找到了這樣一個 $ \Delta(t) $ 在（1）中。我試圖提前閱讀第 6 章，但我發現自己無法找到這個問題的答案：
複製投資組合的多頭/空頭應該選擇什麼樣的期權 $ \Delta(t) $ 底層證券根據 $ (1) $ ? 對於什麼樣的期權，這種對沖以任何方式“不正確”？
一些例子：（1）顯然適用於具有固定波動率和收益率的歐式期權。如果您的模型假設波動率可變怎麼辦？美式期權呢？
第 5.5.2 章（用一隻股票套期保值）包含 (3) 的段落不假設收益的價值在任何 $ t $ 是馬爾可夫，也就是說，它是 $ S(t) $ only，所以沒有使用（1）中的“delta”。
總結 6.7 給出了 Shreve 想要對公式 (3) 說什麼的答案（特別是我強調的三個段落；請注意，Shreve 定義並使用馬爾可夫擴散 SDE 作為基礎）。
6.7 總結
**當資產的基礎價格由隨機微分方程給出時，資產價格為馬爾可夫，任何基於該資產的非路徑依賴衍生證券的價格由偏微分方程給出。**為了給路徑依賴證券定價，首先要確定路徑依賴收益所依賴的變數，然後引入一個或多個附加的隨機微分方程，以建立一個描述相關變數的方程系統。如果可以做到這一點，那麼衍生證券的價格再次由偏微分方程給出。這導致了以下四步過程，用於找到定價微分方程並為衍生證券建構對沖。
- 確定衍生證券價格所依賴的變數。除了時間 t，這些是基礎資產價格 S(t) 和可能的其他隨機過程。我們稱這些隨機過程為狀態過程。人們必須能夠根據這些狀態過程來表示衍生證券收益。
- 寫出狀態過程的隨機微分方程組。可以肯定的是，除了驅動布朗運動之外，出現在這些方程右側的唯一隨機過程是狀態過程本身。這確保了狀態過程的向量是馬爾可夫。
- 馬爾可夫性質保證每次衍生證券的價格都是時間和當時狀態過程的函式。貼現期權價格是風險中性測度下的鞅。計算貼現期權價格的微分，將dt項設為0，從而得到一個偏微分方程。
- 貼現衍生證券價格差異中乘以布朗運動差異的項必須與對沖投資組合價值演變中乘以布朗運動差異的項相匹配；見（5.4.27）。匹配這些條款決定了衍生證券中空頭頭寸的對沖。