遠期隱含波動率偏斜
我想計算隱含的遠期波動率偏斜。我有隨機波動性蒙特卡羅。我需要定價什麼樣的收益以及如何使用 Black() 公式計算隱含波動率。
有兩種方法。
- 價格看漲和看跌期權與各種罷工。繪製他們的 BS 隱含波動率。求圖形的斜率。
- 使用必要的罷工為電話和數字電話定價。計算看漲期權的隱含波動率。利用這個事實
$ DC(model) = DC(BS) - skew \times callvega, $
解決偏斜。（參見我的書“數學金融的概念與實踐”的第 7.7 節）
這將導致今天的偏差。要獲得前向偏斜，您需要以現貨的未來價值為條件，這基本上意味著執行 MC 並通過分桶獲得隱含的未來價格作為現貨的函式。
遠期開始期權隱含了遠期隱含波動率微笑。例如看漲期權有回報
$$ g_{T+\theta} = \left( \frac{S_{T+\theta}}{S_T} -K\right)_+ $$ 如果您處於隨機波動率模型中，則可以重寫
$$ g_{T+\theta} = \left( e^{ \int_T^{T+\theta} r - \frac{1}{2}\sigma_t^2 dt + \int_T^{T+\theta}\sigma_tdW^S_t } -K\right)_+ $$ 您可以使用 MC 計算前向啟動呼叫的價格： $$ C_t(T\to T+\theta,K) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}t[e^{-r(T+\theta - t)}\left( e^{ \int_T^{T+\theta} r - \frac{1}{2}\sigma_t^2 dt + \int_T^{T+\theta}\sigma_tdW^S_t } -K\right)+ ] $$ 值得注意的是，在固定時間進行調節 $ T $ , $$ C_t(T\to T+\theta,K) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}_t[e^{-r(T - t)} C_T(S_T = 1,T+\theta,K) ] $$ 因此，遠期開始通話是未來通話模型價格的所有場景的平均值。 遠期隱含波動率 $ \Sigma_t(T\to T+\theta,K) $ （這是 $ \theta $ 年 $ T $ 歲月 $ t $ ) 的特點是
$$ C_t(T\to T+\theta,K) = C_{BS}(S=1,\theta,K,r,\Sigma_t(T\to T+\theta,K)) $$ 設置公式，使得在具有時間相關波動率的 BS 模型中， $ \Sigma_t(T\to T+\theta,K)^2 = \frac{1}{\theta}\int_T^{T+\theta} \sigma(t)^2 , dt $ 這是我們預期的遠期波動。 通過這種方式，您可以通過 MC 模擬獲得您的價格，找到不同罷工對應的遠期隱含波動率，並繪製您的遠期微笑。如果您有足夠的罷工，您可以通過有限差分來近似偏斜。
Mark Joshi 建議的基於數字的方法也有類似的作用。