從 BS 公式如何顯示歐元看漲期權價值上升和歐元看跌期權價值隨著利率下降？
引用自維基百科的 BS 公式給出：
$$ {\displaystyle {\begin{aligned}C(S_{t},t)&=N(d_{1})S_{t}-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\end{aligned}}} $$
其中所有符號都是標準的（我認為不存在任何符號歧義；否則請直接參考本文。）
我想表明，當其他一切都解決時， $ C $ 將與 $ r $ . 或者， $ \partial C/\partial r\ge 0 $ . 但事實證明，偏導數的符號並不那麼明顯。
為了說服自己，我畫了幾張 $ C $ - $ r $ 使用各種參數集在我的電腦上繪圖，發現曲線總是按預期向上。但我仍然想要一個數學意義上的嚴格證明。那麼我在這裡錯過了什麼嗎？有沒有人可以幫忙？謝謝。
對於呼叫，rho 由下式給出
$$ \begin{align*} \frac{\partial C_t}{\partial r} &= \frac{\sqrt{T-t}}{\sigma}\left(S_t\phi(d_1) -Ke^{-r(T-t)}\phi(d_2)\right)+K,(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_2)\ &=\frac{\sqrt{T-t}}{\sigma}\left(S_t\phi(d_1) -Ke^{-r(T-t)}\phi(d_1-\sigma\sqrt{T-t})\right)+K,(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_2)\ &=\frac{\sqrt{T-t}}{\sigma}\left(S_t\phi(d_1) -Ke^{-r(T-t)}\phi(d_1)e^{d_1\sigma \sqrt{T-t}-\frac{\sigma^2}{2}(T-t)}\right)+K,(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_2)\ &=K,(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_2). \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} d_1 &= \frac{\ln \frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}},
d_2 = d_1-\sigma\sqrt{T-t}. \end{align*} $$ 同樣，對於看跌期權，rho 由下式給出 $$ \begin{align*} \frac{\partial P_t}{\partial r} =- K,(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_2). \end{align*} $$ 現在很明顯，看漲期權是利率的遞增函式，而看跌期權是遞減函式。請參閱https://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model以獲取參考。