從傅立葉變換到期權價值
但是，我很難遵循幾篇介紹性論文中使用的過程，例如：Carr & Madam、 Liuren Wu、Schmelze或Chourdakis（第 4 章）
為了對這種方法有一個直覺的理解，如果有人能給我提供一個如何使用這種定價技術計算期權價格的例子，那將非常有幫助。
由於這不是家庭作業，因此將不勝感激任何直覺的範例。
**編輯：**作為一個潛在的例子，考慮我們想要估計一個歐洲看漲期權的公允價值 $ K = 12 $ 並且隨著時間的成熟 $ T = 2 $ 年。標的資產 $ S $ 有初始價格 $ S_0 = 10 $ 其收益波動率為 $ \sigma = 0.25 $ . 無風險利率為 $ r = 0.05 $ .
對於前面的例子，Black-Scholes 方程表明期權的公允價值應該是 $ 1.07 $ . 如何使用傅里葉變換重現此結果？
當分佈的 pdf 無法解析時，通常通過對其特徵函式進行傅里葉逆變換來計算。同樣的想法在這裡也適用。考慮歐式期權的貼現期望公式
$$ V (S,\tau) = e^{-r\tau} \mathbb{E}{x_0} [\theta(x_T)] $$. 原木價格 $ x $ 和到期時間 $ \tau=T-t $ . 在積分形式中，這是 $$ V (S,\tau)= e^{-r\tau} \int{-\infty}^\infty \theta(x_T) f(x_T|x_0) dx_T $$ 在哪裡 $ f(x_T|x_0) $ 是轉移機率密度（即達到的機率 $ x_T $ 給定 $ x $ ）。對於遵循某些分佈的資產， $ f $ 可能很難通過分析找到，甚至可能不存在（考慮穩定分佈）。然而，對於金融中使用的大多數分佈，傅里葉變換（或特徵函式）是。因此，在傅立葉域中重鑄定價問題是很自然的。讓我們通過將傅里葉變換應用於折扣期望公式來做到這一點。引入阻尼 $ \exp (\alpha x) $ 以便 $ \exp (\alpha x) \theta(x) \in \mathbb{L}^2(\mathbb{R}) $ $$ \begin{align} \hat{V} (S,\tau) &= e^{-r \tau} \mathcal{F} {\mathbb{E}{x_0} [e^{\alpha x} \theta(x_T)] } \ &= e^{-r\tau} \mathbb{E}{x_0} [\hat{\theta}\alpha(x_T) ] . \end{align} $$ 通過傅里葉反演 $$ \begin{align} V(S, \tau) &= e^{-r\tau} \mathcal{F}^{-1} { \mathbb{E}{x_0} [\hat{\theta}\alpha (x_T) ] } \ &= \frac{e^{-r\tau}}{2 \pi} \int{-\infty+i \alpha}^{\infty+i \alpha} \hat{\theta}\alpha (x_T) \mathbb{E}{x_0} [e^{iux_T}] dx_T \ &= \frac{e^{-r\tau}}{2 \pi} \int_{-\infty+i \alpha}^{\infty+i \alpha} \hat{\theta}\alpha (x_T) \mathbb{E}{x_0} [e^{iux_T-iux_0+iux_0}] dx_T \ &=\frac{e^{-r\tau}}{2 \pi} \int_{-\infty+i \alpha}^{\infty+i \alpha} \hat{\theta}\alpha (x_T) \phi(u;T) e^{iux_0} dx_T \end{align} $$ 在哪裡 $ \phi(u;T):=\mathbb{E}{x_0} [e^{iu(x_T-x_0)}] $ 是對數價格過程的特徵函式。 為了解決您的計算問題，MATLAB 程式碼可用於 Carr 和 Madan 方法。使用MAIN FUNCTION和特徵函式LIBRARY，您可以呼叫該函式（未經測試）：
CallPricingFFT(‘BlackScholes’,14,10,12,2,0.05,0)
這將返回您的看漲期權價格 1.073389…