使用 Heston 模型的 FTAP
當我們說時間時，就會呼叫資產定價基本定理 (FTAP) $ 0 $ 有收益的歐式期權的價格 $ g $ 是 $ e^{-rT}E_Q(g(S_T)) $ , 假設 $ e^{-rt}S_t $ 是一個 $ Q $ -鞅。如果我們假設，這個鞅條件是滿足的 $ S_t $ 遵循帶有漂移的幾何布朗運動 $ r $ ，所以我們可以使用蒙特卡羅來估計價格
$$ e^{-rT}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N g(S_T^i) $$ 在哪裡 $ {S_T^i} $ 是對數正態的。 很公平，但是假設什麼允許人們做同樣的蒙地卡羅估計 $ S_t $ 遵循赫斯頓模型的動力學？特別是在什麼條件下 $ e^{-rt}S_t $ 某種程度的鞅？我們不知道分佈 $ S_t $ 在這個模型下，所以它不像 Black-Scholes 那樣簡單。當然，我們可以模擬這個模型的路徑併計算上面的總和，這似乎是人們所做的，但是從理論上證明這是正確的嗎？
你不需要任何關於分佈屬性的假設 $ S_t $ . 對 FTAP 來說重要的只是漂移。
根據定義，風險中性度量 $ Q $ 是測度，相當於自然測度 $ P $ (*)，在此條件下，當地收益率（即 SDE 的瞬時漂移 $ S_t $ 每單位 $ S_t $ ) 的“任何”交易資產 $ S_t $ （還有衍生品的價格 $ g_t $ ） 是 $ r $ ，市場無風險利率。
等效地，這包括要求任何交易資產的價格以銀行賬戶價值的基本參考單位（又名numeraire）為單位計量 $ B_t=e^{rt } $ ( $ B_0=1 $ ) 是鞅：
$$ E^Q_0 \left[\frac{g_T}{B_T}\right] = \frac{g_0}{B_0} $$ 這就是價格，正如你提到的 $$ g_0=e^{-rT} E^Q_0 \left[g_T\right] $$ 這適用於任何交易資產，無論其性質（股票、商品、指數、衍生品……）。 這確實是一個等價物。的確，正在 $ \mu $ 當地收益率 $ g_t $ 在下面 $ Q $ :
$$ dg_t= \mu g_t dt + (\cdots) dW $$ 你有 $ m_t=g_t/B_t $ ，由伊藤引理： $$ d m_t = [-r m_t + (\mu g_t) (1/B_t)] dt + (\cdots) dW $$ 這是一個鞅（無漂移條件），前提是$$ \mu = r $$. 如您所見，擴散項在這種情況下不起作用。資產動態正常、對數正態或隨機波動無關緊要 (**)
(*) 在無風險回報之上，您“生活”的那個，即您需要風險溢價的那個 $ r $ ，用於承擔持有風險資產的風險 $ S_t $ .
(**) 供您將來參考：波動率不會隨著衡量標準的變化而變化（請參閱 Brigo-Mercurio 關於利率衍生品的第 2 章）。這是一個高級概念，最好從基礎開始：Bjork“連續時間套利理論”第 10 章。
你可以使用這篇文章
讓
$$ \begin{align} & d{{S}{t}}=r{{S}{t}}dt+\sqrt{{{\nu }{t}}}\left( \rho dW{1}^{Q}(t)+\sqrt{1-{{\rho }^{2}}}dW_{2}^{Q}(t) \right) \ & d{{v}{t}}=\kappa (\theta -{{v}{t}}){{d}{t}}+{{\sigma }{v}}\sqrt{{{\nu }{t}}}dW_{1}^{Q}(t) \ \end{align}
$$ 我們可以展示$$ {{S}{T}}={{S}{t}}\exp(X_t)\tag 1 $$ 在哪裡 $$ X_t= \left( r\tau-\frac{1}{2}\int_{t}^{T}{{{v}{s}}}ds+\rho \int{t}^{T}{\sqrt{{{v}{s}}}}dW{1}^{Q}(s)+\sqrt{1-{{\rho }^{2}}}\int_{t}^{T}{\sqrt{{{v}{s}}}}dW{2}^{Q}(s) \right)\tag 2 $$ 和 $$ v_t=v_s+\kappa\theta(t-s)-\kappa\int_{s}^{t}{{{v}{u}}}du+\sigma_v\int{s}^{t}\sqrt{v_u}dW_1^{Q}(u) $$ 如您所知，以實現價值為條件 $ v_s $ , 隨機變數 $ 2c_t v_t $ 遵循非中心卡方分佈，其中$$ c_t=\frac{2\kappa}{\sigma_v^2(1-e^{-\kappa(t-s)})}\tag 3 $$ 因此您可以執行此過程：
- 從分佈中生成樣本 $ v_t $ 給定 $ v_s $ .
- 從分佈中生成樣本 $ \int_{s}^{t}{{{v}_{u}}}du $ 給定 $ v_t $ 和 $ v_s $ .
- 恢復 $ \int_{t}^{T}{\sqrt{{{v}{s}}}}dW{1}^{Q}(s) $ 從 $ (1),(2) $ 給定 $ v_t $ , $ v_s $ 和 $ \int_{t}^{T}{{{v}_{s}}}ds $ .
- 從分佈中生成樣本 $ S_t $ 給定 $ \int_{t}^{T}{\sqrt{{{v}{s}}}}dW{1}^{Q}(s) $ 和 $ \int_{t}^{T}{{{v}_{s}}}ds $ .