利率衍生品的 Gamma
考慮一個利率衍生品，其價值 $ V $ 取決於 $ n $ 利率 $ r_1, \dots, r_n $ . 因此 $ V $ 是一個函式 $ n $ 變數 $ V(r_1, \dots, r_n) $ . 我的問題與伽瑪有關 $ \gamma $ 這個導數相對於平行位移。
它是否“總是”持有 $$ \gamma(r_1, \dots, r_n) = \sum_{i = 1}^n \frac{\partial^2 V}{\partial r_i^2}(r_1, \dots, r_n). $$
為了澄清符號：我定義了增量 $ \delta $ 關於平行位移的導數為 $$ \delta(r_1, \dots, r_n) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{V(r_1 + h, \dots, r_n + h) - V(r_1, \dots, r_n)}{h}, $$ 和 $ \gamma $ 然後定義為 $$ \gamma(r_1, \dots, r_n) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\delta(r_1 + h, \dots, r_n + h) - \delta(r_1, \dots, r_n)}{h}. $$
從數學的角度來看，我認為恆等式一般不應該成立，因為混合偏導數（即 $ \frac{\partial^2 V}{\partial r_i r_j} $ ) 也應該考慮。我也假設 $ V $ 是足夠平滑的函式，使得所有二階偏導數都存在並且是連續的。然而，文獻似乎表明這種身份普遍存在。你們有什麼感想？
我的理解是交叉偏導數確實有貢獻 - 所以你說你真正需要使用的是伽馬矩陣是正確的$$ \gamma=[\frac{d^2V}{dr_idr_j}]_{i,j}. $$本質上，交叉偏項 $ \frac{d^2}{dr_idr_j} $ 暗示各種利率之間的相關性 $ (r_1,…,r_n) $ . 假設相關性很高（約 90%），這些項通常可以忽略。出於這個原因，由您陳述的公式計算的伽馬是一種“局部”伽馬，而不是整個矩陣給出的“全域”伽馬。為了計算這個“全域”伽馬，銀行通常使用某種形式的主成分分析（或其他一些線性變換），因為它是一種計算成本較低的方法，可以擷取利率敏感性的大部分變異數，而無需計算整個矩陣。
正確的。您從指定所有費率並行移動的場景開始。隱含的相關性是 100%。沒有什麼隨機的了。最初引用的伽瑪到平行移位。不需要矩陣。