Gamma Pnl 與 Vega Pnl
為什麼 Gamma Pnl 有已實現波動率敞口，而 Vega Pnl 只有隱含波動率敞口？我對為什麼 gamma pnl 受 IV 影響（更多）以及為什麼 vega pnl 不受 RV 影響（更多）感到困惑？
本質上，您如何在數學上顯示 gamma pnl 將是什麼，以及如何顯示 vega pnl 將是什麼？我相信伽馬 pnl 是點 x (vega x IV - RV)
伽瑪 pnl 通常是否會主導（以美元計）期權的 vega pnl，因為大多數文獻都是關於伽瑪 pnl 的？
對於價格選項 $ C $ , P $ & $ L，關於標的資產價格的變化 $ S $ 和波動性 $ \sigma $ ， 是（誰）給的 $$ \begin{align*} P&L = \delta \Delta S + \frac{1}{2}\gamma (\Delta S)^2 + \nu \Delta \sigma, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \delta $ , $ \gamma $ ， 和 $ \nu $ 分別是 delta、gamma 和 vega 對沖比率。然後很明顯vega P $ & $ L 暴露於隱含波動率的變化 $ \sigma $ . 請注意，對於伽馬 P $ & $ 大號， $$ \begin{align*} \frac{1}{2}\gamma (\Delta S)^2 = \frac{1}{2}\gamma S^2 \frac{1}{\Delta t}\left(\frac{\Delta S}{S}\right)^2\Delta t, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \frac{1}{\Delta t}\left(\frac{\Delta S}{S}\right)^2 $ 是已實現的變異數，並且 $ \sqrt{\frac{1}{\Delta t}\left(\frac{\Delta S}{S}\right)^2} $ 是已實現的波動率。看看為什麼 $ \sqrt{\frac{1}{\Delta t}\left(\frac{\Delta S}{S}\right)^2} $ 是已實現的波動率，我們假設，啟發式地， $$ \begin{align*} dS_t = S_t\left(r dt + \sigma_{Re} dW_t \right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \sigma_{Re} $ 是已實現的波動率和 $ {W_t, , t \ge 0} $ 是標準布朗運動。然後 $$ \begin{align*} \sqrt{\frac{1}{\Delta t}\left(\frac{\Delta S}{S}\right)^2} \approx \sigma_{Re}. \end{align*} $$
考慮 delta 中性投資組合 $ \Pi=C-\frac{\partial C}{\partial S}S $ . 假設利率和波動率在小時間段內不變 $ \Delta t $ . P $ & $ 投資組合的 L 由下式給出 $$ \begin{align*} P&L_{\Delta t}^{\Pi} &= \frac{1}{2}\gamma (\Delta S)^2 + \theta \Delta t, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \theta $ 是 theta 對沖比率。對於我們假設為零的小利率， $ \theta \approx -\frac{1}{2}\gamma S^2 \sigma^2 $ 和 $ \gamma = \frac{\nu}{S^2\sigma T} $ ; 例如，參見Black-Scholes 模型。然後 $$ \begin{align*} P&L_{\Delta t}^{\Pi} &\approx \frac{1}{2}\gamma S^2 \frac{1}{\Delta t}\left(\frac{\Delta S}{S}\right)^2\Delta t - \frac{1}{2}\gamma S^2 \sigma^2 \Delta t\ &\approx \frac{1}{2}\gamma S^2 \sigma_{Re}^2 \Delta t - \frac{1}{2}\gamma S^2 \sigma^2 \Delta t\ &= \frac{1}{2}\gamma S^2 (\sigma_{Re} + \sigma)(\sigma_{Re} - \sigma) \Delta t\ &\approx \gamma S^2 \sigma (\sigma_{Re} - \sigma) \Delta t \hspace{1in} (\text{assuming that } \sigma_{Re}\approx \sigma)\ &=\frac{\nu}{T}(\sigma_{Re} - \sigma) \Delta t. \end{align*} $$ 累積 P $ & $ L，在區間內 $ [0, T] $ , 那麼是 $ \nu (\sigma_{Re} - \sigma) $ .