隱含波動率對沖時的 Gamma PnL - 市場 PnL 的標記在哪裡？
眾所周知，隱含波動率對沖涉及 PnL：
$ 0.5*(σ^{2}_r−σ^{2}i)S^{2}*Γ{i}dt $
在 Wilmott 論文 ( http://web.math.ku.dk/~rolf/Wilmott_WhichFreeLunch.pdf ) 中，他們暗示這種策略的集體 PnL 是上述表達式在時間上的積分。
然而，這似乎假設市場隱含波動率保持不變 $ σ_i $ . 否則，人們還會遇到由期權對隱含波動率的敏感性以及其他條款支配的盯市盈虧：
$ C_{σ}* (dσ)+….. $
為什麼上述分析中沒有考慮到市盈率？
考慮任何函式 $ f(S(t),K,t,T,{x_i(t)}) $ 有回報 $ (S(T) - K)_+ $ 什麼時候 $ t=T $ ， 在哪裡 $ {x_i(t)} $ 是其他變數/參數，因此在 $ t=0 $ 您可以選擇（即校準）這些，以便您的功能與期權的市場價格相匹配： $ f(S(0),K,0,T,{x_i(0)}) = C^{market}(t=0) $ .
由於期權的收益不取決於 $ {x_i(T)} $ ，如果您決定只查看到期時的期權價值，那麼您可以自由地保持這些其他變數不變，並且只對沖期的變化 $ S_t $ . 在這種情況下，根據您選擇的“現實”（這是“按模型標記”而不是“按市場標記”），期權價值的變化是 $$ df = \theta dt + \Delta dS + \frac{1}{2} \Gamma (dS)^2 $$ 因為您已選擇所有其他變數/參數保持不變。 $ dS $ 是觀察到的股票價格的任何變化。
但是，如果您決定/或被迫在到期前“查看”市場中的期權價值，那麼您的 delta-hedge P/L 將等於： $$ P&L = C^{market}(t=0) + \int_0^u \left( \theta_t dt + \frac{1}{2} \Gamma_t (dS_t)^2 \right) - C^{market}(t=u) $$
如果您假設 vols $ \sigma_r,\sigma_i $ 是時間的確定性函式，它們的公式 (1) 仍然成立 $$ \tag{1} dV(t)=\frac{1}{2}(\sigma^2_r(t)-\sigma_i^2(t)),\Gamma^i(t),dt. $$ 積分給出累積的對沖盈虧 $$ V(t)=\frac{1}{2}\int_0^t(\sigma^2_r(s)-\sigma_i^2(s)),\Gamma^i(s),ds. $$ 可以將推導擴展到隨機波動率的情況 $ \sigma_r(t) $ 通過將 Ito 公式應用於具有兩個狀態變數的呼叫價格 $ C(t,S(t),\sigma_r(t)),. $ 然而，我不確定這樣一個普遍的結果在實踐中會有多大用處。公式 (1) 在小時間間隔內近似成立 $ \sigma_r(t) $ 可以假設是幾乎確定的。