給定E[X]乙[X]mathbb{E}[X],E[最大(0,X)]乙[最大限度(0,X)]mathbb{E}[max(0,X)]， 和E[最小(0,X)]乙[分鐘(0,X)]mathbb{E}[min(0,X)]， 什麼是E[f(X)]乙[…
讓 $ X $ 是任意分佈的任意隨機變數。鑑於我們知道 $ \mathbb{E}[X] $ , $ \mathbb{E}[\max(0,X)] $ ， 和 $ \mathbb{E}[\min(0,X)] $ , 你能寫一個公式 $ \mathbb{E}[f(X)] $ 在哪裡 $ f $ 有任何二次可微函式嗎？
我猜這個解決方案可能與無套利定價有關 $ f(X) $ 給定價格 $ X $ , 看漲期權的價格 $ X $ , 和看跌期權的價格 $ X $ ，但我不是定價專家。
有任何想法嗎？
我不認為有人可以回答你的問題。認為 $ X=e^{\mu+\sigma Z} $ 是對數正態的，即正數。因此， $ \mathbb{E}[\max{0,X}]=\mathbb{E}[X] $ 和 $ \mathbb{E}[\min{0,X}]=0 $ . 從只知道 $ \mathbb{E}[X] $ ，你無法得出什麼結論 $ \mathbb{E}[f(X)] $ 用於任意函式 $ f $ . 您的陳述的一個含義是，平均值完全表徵了正隨機變數的分佈，這通常是不正確的。
它適用於只有一個參數（以均值為特徵）的分佈，例如Poisson分佈或指數分佈。根據您的功能，您可能會獲得一些關於 $ \mathbb{E}[f(X)] $ 來自 Jensen 不等式或一階泰勒展開式。
眾所周知，Carr 和 Madan 得出了一個靜態複製公式，請參閱@Gordon 的答案：
$$ \begin{align*} f(x) &= f(a) + f’(a) (x-a) + \int_a^{\infty}(x-u)^+f’’(u)\text du + \int_{0}^a(u - x)^+f’’(u)\text du. \end{align*} $$ 這使您可以計算表單的期望值 $ \mathbb{E}[f(X)] $ - 但你確實需要一個連續的期權價格（在所有積極的罷工）。這一發現與 Breeden-Litzenberger (1978) 的結果相呼應：一份完整的期權價格列表充分描述了標的資產在到期時的分佈。但是，您需要知道的不僅僅是正負部分的平均值 $ X $ .