“對沖”看跌期權，行權問題
我對 S. Shreve 的以下練習有疑問：金融隨機微積分，我：
練習 4.2。在範例 4.2.1 中，我們計算了具有執行價格的美式看跌期權的時間零值 $ 5 $ 成為 $ 1.36 $ . 考慮一個借錢的代理人 $ 1.36 $ 在零時買入看跌期權。解釋這個代理人如何能夠產生足夠的資金來償還他的貸款（貸款增長 $ 25 % $ 每個時期）通過在股票和貨幣市場上交易並優化執行看跌期權。
他引用的範例 4.2.1 中的模型如下：
$$ \begin{align*} S_0 & = 4 \ S_1(H) & = 8, S_1(T) = 2 \ S_2(HH) & = 16, S_2(HT) = S_2(TH) = 4, S_2(TT) = 1 \end{align*} $$ 和 $ r = 1/4 $ 和風險中性機率 $ \hat p = \hat q = 1/2 $ . 所以現在我的問題是，我不知道如何解決這個問題，我猜代理希望以某種方式對沖他總是可以通過使用期權來支付信用。首先我應該怎麼想，他應該在時間步償還他的信用 $ 2 $ ，或者在可能的情況下更早地行使期權，或者他應該保持流動性直到結束？什麼是最優的，以最少的投資對沖？
好的，我通過考慮兩種情況來解決它，首先使用時間步的選項 $ 1 $ ，然後在時間步 $ 2 $ . 通過在時間步驟一使用它，我發現他必須額外投資 $ 0.16 $ ， 買 $ 1/2 $ 從股份中，並相應地借 $ 0.16 - 1/2 \cdot 4 $ 來自銀行/猴子市場。然後在第一個時間步，當期權被行使並且投資組合的價值等於 $ (1 + r)1.36 $ 他可以無風險地投資一切，即通過不購買任何股票來重新調整他的投資組合，並投資於無風險資產 $ (1+r)1.36 $ , 這樣在時間步 $ 2 $ 他可以支付 $ (1+r)^2 1.36 $ .
第二種情況，即在時間步執行期權 $ 2 $ , 我發現他必須額外投資 $ 1.36 $ 並且在第一步不買股票，然後在下一步重新調整他的投資組合為買 $ 1/12 $ 如果股票上漲並且 $ 1.06 $ 如果它下跌，並通過行使期權，如果它在償還債務後上漲 $ (1+r)^2 1.36 $ 他的投資組合有價值 $ 1.3 $ ，意味著他還有錢，或者 $ -0.3 $ 如果它下降，意味著他還有一些債務（這點我不完全理解？…）
那麼有人可以幫助我理解和解決這個練習（如果我的方法是錯誤的……）？
我認為問題是關於二項式上下文中的動態複製，只是措辭有點奇怪。通常會給出一棵樹，需要找到 x(t) 和 y(t)，其中 x(t) 是時間 t 的庫存量，y(t) 是時間 t 的現金量。然後你做你的複制參數，你有期權價格 P(0) = X(0) + Y(0)。
這個問題的措辭方式你已經在零時間得到了價格。為了能夠每次都還清 1.36 的貸款，您仍然需要進行複制。
因此，在 t=0 時，您需要 X(0) 支股票，這樣無論您的股票、現金和看跌期權組成的投資組合是什麼（上漲或下跌），都是持平的。請注意，您將做多看跌期權，您將做多股票（因為看跌期權的 delta 為負），因此您需要為看跌期權提供資金（1.36 以及您的股票頭寸的 X(0)*4）。
求解得到 X(0) = 0.4333 和 y(0) = 1.36 + 0.433*4 = 3.0933。您可以檢查該位置是否始終是平的。如果股票下跌，那麼您將在多頭股票上虧損，但在您的看跌期權中獲利（您需要行使）。等如果股票上漲，您需要重新調整您的 X(1) 並重新平衡 Y(1) 以再次複製看跌收益。
如果您需要更多幫助，請告訴我，但從這裡開始您應該會沒事的。只需解決線性代數。
$$ \Delta_1(H)=\frac{V_2(HH)-V_2(HT)}{S_2(HH)-S_2(HT)}=-\frac{1}{12} $$ 和 $$ \Delta_1(T)=\frac{V_2(TH)-V_2(TT)}{S_2(TH)-S_2(TT)}=-1 $$ 和 $$ \Delta_0=\frac{V_1(H)-V_1(T)}{S_1(H)-S_1(T)}=-0.433 $$ 最佳運動時間是 $$ \tau(HH)=\infty $$ $$ \tau(HT)=2 $$ $$ \tau(TH)=1 $$ $$ \tau(TT)=1 $$ 結果，你應該借 $ 1.36 $ 在零時買入看跌期權。同時，為了對沖多頭頭寸，您需要再次借入並買入 $ 0.433 $ 零時的股票。
Step 1 : 如果拋的結果是尾巴，股價下跌到 $ 2 $ , 你應該行使 put 和 get $ 3 $ 還清你的債務。
Step 1 : 如果拋的結果是正面，股價上漲到 $ 8 $ , 你應該借錢買 $ \frac{1}{12} $ 股票的股份。
Step 2 : 如果拋的結果是正面，股價上漲 $ 16 $ , 應該讓看跌期權到期，因為投資組合的價值是 $ 0 $ .
Step 2 : 如果拋的結果是尾巴，股價下跌到 $ 4 $ , 你應該行使 put 得到 $ 1 $ .