在 BS 世界中對沖非交易資產的期權
我已經給出了以下任務。
假設您在擁有標準資產的 Black-Scholes 世界中 $$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $$ $$ dB_t = r B_t dt $$ 現在你也有非金融資產 $$ dY_t =\alpha dt + \beta dW_t $$ 維納過程在哪裡 $ dW_t $ 同時驅動 S 和 Y。
給出期權在 t=0 時的定價函式 $ X=S_T * (Y_T)^2 $
我的方法是採取 $ S_T $ 作為一個計價器，以獲得：
$$ \Pi_o[X] = S_0 E^{Q^S} \left[ S_T \frac{(Y_T)^2}{S_T} \right] = S_0 E^{Q^S} \left[ (Y_T)^2 \right] $$
然後我必須得出 $ Q^S $ 動力學 $ Y_t $ . 第一次轉型 $ S_t $ 和 $ Y_t $ 風險中性測度 $ Q $ 給我
$$ dS_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t^{Q} $$
$$ dY_t = \left\lbrace \alpha + \beta \left( - \frac{ \mu - r }{\sigma} \right) \right\rbrace dt + \beta dW_t^{Q} $$ 然後從 $ Q $ 至 $ Q^S $ 給我 $$ dS_t = (r * \sigma^2) S_t dt + \sigma S_t dW_t^{S} $$ $$ dY_t = \left\lbrace \alpha + \beta \left( - \frac{ \mu - r }{\sigma} + \sigma \right) \right\rbrace dt + \beta dW_t^{S} $$
現在我有了動態 $ Y_t $ 在下面 $ Q^S $ 但我不知道該怎麼做，因為直到現在我完全忽略了這一點 $ Y_t $ 是非交易資產，因此我不能使用 BS 複製參數…
對於接下來的步驟，您需要使用 $ dY $ 是地方 $ dW $ 無處不在的表達 $ dS $ . 實際上，當您使用標的資產複製普通期權的收益時，這僅僅是因為標的資產與其可交易對手之間的相關性等於 1。 $ dS $ 和 $ dY $ 也是 1，因此您的底層證券的維度不是 2 而是 1：所有都可以表示為 $ dW $ 和 $ dY $ 只要。