赫斯頓模型中的對沖
我模擬了標的股票價格， $ S_t $ 和隨機變異數過程， $ v_t $ 來自赫斯頓宇宙的以下隨機微分方程： $$ dS_t = \mu S_tdt + \sqrt{v_t}dW_{1,t} $$ $$ dv_t = \kappa(\theta-v_t)dt + \sigma\sqrt{v_t}dW_{2,t} $$ 此外，我在上述赫斯頓模型中有價格看漲期權： $$ C=S_t e^{−qt}P_1−Ke^{−rt}P_2 $$ 在哪裡 $ P_1 $ 和 $ P_2 $ 是原始論文中定義的價內機率
$$ 1 $$. 為了在模擬的赫斯頓世界中對看漲期權進行完美對沖，我需要一定比例的股票和一定比例的另一種資產，其價值取決於變異數。我希望能夠在我的模擬中實現它。
我現在的問題是：我如何計算這些比例？
我計算過 $ \Delta_C = e^{−qt}P_1 $ 和 $ Vega=Se^{−qt} \frac{∂P_1}{∂v_0}2\sqrt{v_0}−Ke^{−rt}\frac{∂P_2}{∂v_0}2\sqrt{v_0} $ ，我認為這些是購買標的資產和另一種資產的數量，該資產的價值取決於對沖期權的變異數。
但是，我不確定這是否正確。這就是在赫斯頓宇宙中對沖期權所需的全部內容嗎？
$$ 1 $$赫斯頓，史蒂文 L. (1993)。“具有隨機波動性的期權的封閉式解決方案，適用於債券和貨幣期權”。金融研究評論。6 (2): 327–343。doi：10.1093/rfs/6.2.327。JSTOR 2962057。
讓我們表示您需要對沖的期權 $ C_1 $ ，我假設你已經賣掉了（如果你買了，那就把標誌轉過來）。在 Heston 下，您將需要對沖其 delta 和 vega。
您可以使用底層 $ S $ 對沖三角洲，而不是對沖vega。對沖 vega 的最直接方法 $ C_1 $ 是在市場上購買另一種期權，稱之為 $ C_2 $ .
讓 $ \nu_1 $ 成為織女星 $ C_1 $ 和 $ \nu_2 $ 織女星 $ C_2 $ 然後數字 $ n $ 選項 $ C_2 $ 你需要買來對沖 vega
$$ \begin{equation} n = \nu_1 / \nu_2 \end{equation} $$
然而，你知道 $ C_2 $ 也有delta，叫它 $ \Delta_2 $ ， 和 $ C_1 $ 有三角洲，叫它 $ \Delta_1 $ . 要中和這些增量，您需要購買一定數量的 $ m $ 的 $ S $ ，這很容易解決為
$$ \begin{equation} m = - \Delta_1 + n\Delta_2 \end{equation} $$
這就是它的全部內容，當然除了你需要在赫斯頓模型下計算這些希臘語。對 Heston 來說幸運的是，價格有一個封閉形式的解決方案，然後您可以將價格區分為 $ S $ 和 $ \sigma $ 找到 delta 和 vega。