收益對沖策略∫噸0日誌小號在你的∫0噸日誌小號在d在int_0^Tlog S_umathrm{d}u
對沖策略會是什麼樣子的回報 $ \int_0^T\log S_u\mathrm{d}u $ ? 我已經確定在 Black-Scholes 股票動態下，
$$ \int_0^T\log S_u\mathrm{d}u=\int_0^t\log S_u\mathrm{d}u+\int_t^T\left[\log S_t+\left(r-\frac{\sigma^2}2\right)(u-t)+\sigma(W_u-W_t)\right], $$
如此有條件 $ \mathcal{F}_t $ 我們有
$$ \int_0^T\log S_u\mathrm{d}u\Big|\mathcal{F}_t\sim\mathcal{N}\left(\int_0^t\log S_u\mathrm{d}u+(T-t)\log S_t+\frac{T^2-t^2}2\left(r-\frac{\sigma^2}2\right),\frac{\sigma^2}3\frac{(T-t)^3}{T^2}\right), $$
因此時間—— $ t $ 這個選項的價格是
$$ V(S_t,t)=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\left[\int_0^t\log S_u\mathrm{d}u+(T-t)\log S_t+\frac{T^2-t^2}2\left(r-\frac{\sigma^2}2\right)\right]. $$
我如何使用這些資訊為此類索賠制定對沖策略？如果我可以完美地對沖 delta 對沖，就基礎而言，delta 真的就像
$$ \frac{\partial}{\partial S_t}\mathrm{e}^{-r(T-t)}\left[\int_0^t\log S_u\mathrm{d}u+(T-t)\log S_t+\frac{T^2-t^2}2\left(r-\frac{\sigma^2}2\right)\right], $$
還是我想念的還有更多？
我假設您想為支付的衍生產品定價 $ \int_0^T\ln S_tdt $ 在成熟時 $ T $ ， 從時間 $ t=0 $ . 我將忽略對時間的概括 $ t $ 因為它是微不足道的（將積分一分為二，前後 $ t $ 正如你所做的）。
第一個技巧是按部分進行集成 $ \ln S_t dt $ :
$ d(t\ln S_t) = \ln S_t dt + \frac{t}{S_t}dS_t + \frac{t}{2S_t^2} \sigma_t^2 S_t^2 dt $
現在讓我們整合雙方 $ 0 $ 和 $ T $ 並重新排列：
$ \int_0^T \ln S_t dt = \int_0^T d(t\ln S_t) - \int_0^T \frac{t}{S_t}dS_t - \int_0^T \frac{t}{2} \sigma_t^2 dt = T \ln S_T - \int_0^T \frac{t}{S_t}dS_t - \int_0^T \frac{t}{2} \sigma_t^2 dt $
所以你的回報 $ \int_0^T \ln S_t dt $ 等於三項：
- $ T \ln S_T $ : $ T $ -times log-contract，它是靜態可複制的。
- $ \int_0^T -\frac{t}{S_t}dS_t $ : 一種動態的 delta 對沖策略（做空一個數量 $ \frac{t}{S_t} $ 隨時備貨 $ t $ ).
- $ \int_0^T -\frac{t}{2} \sigma_t^2 dt $ 第三個動態項，它是 $ S_t $ 的總變異數。
我們為支付的衍生品定價 $ \int_0^T \ln S_t dt $ 有時 $ T $ ，所以你心裡知道它的價格是風險中性測度下的貼現期望：
$ Price_0 = e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}( \int_0^T \ln S_t dt ) = e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}( T \ln S_T ) - e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}( \int_0^T \frac{t}{S_t}dS_t ) - e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}( \int_0^T \frac{t}{2} \sigma_t^2 dt ) $
前兩個術語很簡單。
- $ e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}( T \ln S_T ) $ 是不是降價了 $ T $ 次對數契約。
- $ e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}( \int_0^T -\frac{t}{S_t}dS_t ) $ 是動態 delta 對沖的預期融資成本的現值。請注意，此處的 delta 為負數（您做空股票），因此融資是一種好處：您因做空股票而獲得利息。
這裡棘手的部分是第三項：你將如何對沖這個積分 $ \sigma_t^2 $ ?
- 在基本的 Black-Scholes 框架中，您有 $ \sigma_t = \sigma $ ， 所以
$ \int_0^T \frac{-t}{2} \sigma_t^2 dt = -\frac{\sigma^2}{2} \int_0^T tdt = -\frac{T^2\sigma^2}{4} $
無需動態對沖；它只是使衍生品更便宜 $ e^{-rT}\frac{T^2\sigma^2}{4} $ （這只是您從複製策略的其餘部分中刪除的一些確定性現金金額）。
- 如果 $ \sigma_t = \sigma (t,S_t) $ ， IE $ \sigma $ 是一個局部波動函式，它變得棘手。您需要動態對沖該變異數積分 $ \int_0^T -\frac{t}{2} \sigma_t^2 dt $ ，因為它也有一些 delta 風險（它取決於 $ S_t $ ！）。數學變得討厭，因為那裡有一些遞歸性（對沖變異數積分將需要動態對沖策略，可能還涉及變異數積分，這需要進行 delta 對沖..）。實際上，這意味著您必須調整您的 delta 對沖 $ \int_0^T \frac{-t}{S_t}dS_t $ 考慮到波動性不隨時間和現貨的變化而變化的事實！（不同型號，不同增量）
- 如果波動性是隨機的並且有自己的風險來源，那麼簡單的 delta 對沖是不夠的。您需要其他東西來對沖該變異數風險（變異數積分）。請注意，積分 ( $ \int_0^T \frac{-t}{2} \sigma_t^2 dt $ ) 類似於變異數互換的收益 ( $ \int_0^T \sigma_t^2 dt $ )，但不完全是，因為它有一些時間權重。因此，可能有一些通過期權進行動態對沖。