我應該如何理解以下關於凸性調整率的陳述
給定，現金 $ (N(t)){0\leq t \leq T} $ 和一個索引 $ (X(t)){0\leq t\leq T} $ 這是一個 $ \mathbb Q^{N} $ -馬丁格爾，我們考慮自然收益 $ V_{N}(T) $ , 在哪裡支付
$$ V_{N}(T):=X(T)N(T) ; ; \text{in }T, $$
即它支付指數 $ X(T) $ 以單位為單位 $ N(T) $ .
現在讓我們考慮收益 $ V_{M}(T) $ ， 在哪裡
$$ V_{M}(T):=X(T)M(T); ; \text{in }T. $$
問題：據說價值 $ V_{M}(T) $ 等於支付“新”指數的工具的價值 $ \frac{\tilde{X}(0)}{X(0)}X(T) $ 以單位為單位 $ N(T) $ ， 在哪裡$$ \tilde{X}(0):=X(0)+\frac{N(0)}{M(0)}\mathbb E^{\mathbb Q^{N}}\left[\int_{0}^{T}d\frac{V_{N}(t)}{N(t)}\cdot d\frac{M(t)}{N(t)}\right] $$
評論：
我知道如何到達 $ \tilde{X}(0) $ 定義時 $ \tilde{X}(0) $ 這樣$$ N(0)\cdot \mathbb E ^{\mathbb Q^{N}}\left[\frac{V_{M}(T)}{N(T)}\right]=V_{M}(0)=:\tilde{X}(0)\cdot M(0) $$
我只是真的不明白關於價值觀的陳述 $ V_{M}(T) $ 和 $ \frac{\tilde{X}(0)}{X(0)}X(T)\cdot N(T) $ 平等。
在我的嘗試中，“新”索引的值是：
$ N(0)\mathbb E^{\mathbb Q^{N}}\left[\frac{\frac{\tilde{X}(0)}{X(0)}X(T)\cdot N(T)}{N(T)}\right]=\tilde{X}(0)N(0) $ 這當然不一定等於 $ \tilde{X}(0)\cdot M(0) $
我想我可能在這裡遺漏了一些相當基本的東西，有什麼想法嗎？或者這只是一個錯字？
解決這個問題的一種方法顯然是呼叫 Girsanov 定理。讓我們嘗試在沒有它的情況下得出相同的結論。
第一個或有索賠提供支付 $ V^N(T) = X(T) N(T) $ . 假如說 $ (X(t))_{0 < t \leq T} $ 是一個 $ \Bbb{N} $ -martingale，在與 numéraire 相關的度量下 $ N(t) $ 然後我們得到： $$ V^N(0) = N(0) \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ X(T) \right] = N(0) X(0) $$
第二個或有索賠提供支付 $ V^M(T) = X(T) M(T) $ . 根據與 numéraire 相關的措施 $ M(t) $ 我們得到： $$ V^M(0) = M(0) \Bbb{E}0^\Bbb{M} \left[ X(T) \right] = M(0) \tilde{X}(0) \ne M(0) X(0) $$ 自從 $ (X(t)){0 < t \leq T} $ 不是一個 $ \Bbb{M} $ -martingale 先驗但我們定義 $$ \tilde{X}_0 := \Bbb{E}_0^\Bbb{M} \left[ X(T) \right] $$
然後可以寫 $$ \begin{align} \tilde{X}_0 &= \Bbb{E}_0^\Bbb{M} \left[ X(T) \right] \ &= \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ X(T) \frac{M(T)}{N(T)} \frac{N(0)}{M(0)} \right] \ &= \frac{N(0)}{M(0)} \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ \frac{V^N(T)}{N(T)} \frac{M(T)}{N(T)} \right] \ &= \frac{N(0)}{M(0)} \left( \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ \frac{V^N(T)}{N(T)} \right] \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ \frac{M(T)}{N(T)} \right] + \text{cov}\left( \frac{V^N(T)}{N(T)} , \frac{M(T)}{N(T)} \right)\right) \ &=\frac{N(0)}{M(0)} \left( X(0) \frac{M(0)}{N(0)} + \int_0^T \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ d\left\langle \frac{V^N}{N}, \frac{M}{N} \right\rangle_t \right] \right) \ &= X(0) + \frac{N(0)}{M(0)} \Bbb{E}_0^\Bbb{N} \left[ \int_0^T d\left\langle \frac{V^N}{N}, \frac{M}{N} \right\rangle_t \right] \end{align} $$ 因此相應的凸度調整。在上面，我們分別使用了以下身份從一行移動到另一行
- 現金（變化）的定義
- 的定義 $ V^N $
- 2個隨機變數之間（終端）共變異數的定義
- 鞅性質 $ V^N(t)/N(t) $ 和 $ M(t)/N(t) $ 在下面 $ \Bbb{N} $ （兩個都 $ V^N(t) $ 和 $ M(t) $ 代表 $ t $ - 在我們的模型經濟中，自籌資金交易策略的價值，因此它們的價格在表達時是鞅 $ N_t $ 單位）以及Itô等距將終端共變異數與二次協變聯繫起來
- 期望運算元的線性。