波動性如何影響二元期權的價格？
理論上，波動性應該如何影響二元期權的價格？典型的現金期權具有更多的外在價值，因此波動性是一個更引人注目的因素。現在假設您有一個定價為 0.30 的二元期權，因為人們不相信它在到期時會值 1.00。波動性對該價格的影響有多大？
市場的波動性可能很高，會抬高所有期權合約的價格，但二元期權的表現會有所不同嗎？我還沒有研究它們在實踐中是如何受到影響的，只是想看看它們在理論上是否會有所不同。
此外，CBOE 的二進製文件僅適用於波動率指數，因此試圖確定波動率的“價值”對波動率二元期權價格的影響程度有點多餘。
忽略利率的二元期權價格與 CDF 基本相同 $ \phi(S) $ （或者 $ 1-\phi(S) $ ) 的終端機率分佈。一般來說，終端分佈將是 Black-Scholes 模型的對數正態分佈，或接近它。期權價格為
$$ C = e^{-rT} \int_K^\infty \psi(S_T) dS_T $$ 對於電話和
$$ P = e^{-rT} \int_0^K \psi(S_T) dS_T $$ 對於看跌期權。
波動性擴大了分佈，在 Black-Scholes 模型下，它的模式略有改變。一般來說，波動性增加會
- 增加價外期權“收益區域”的密度，從而增加其理論價值。由於機率和無風險利率不高，假設您的期權價值 0.30 $ r $ ，更大的波動性將增加其價值。
- 增加價內期權“無收益區域”的密度，從而降低其理論值。現在價值 0.70 的期權將失去價值，因為在支付區域之外結束的可能性增加。
隨著波動 $ \sigma $ 方法 $ \infty $ ，所有期權價格都趨向於看漲期權的 0 和看跌期權的 1。在布萊克-斯科爾斯的土地上，即使這個詞 $ \frac{\log(S_0/K)}{\sigma \sqrt{T}} \to 0 $ 並且機率分佈在其分佈的指數的正負兩側一直擴展到無窮大，它對數正態地集中在小於任何有限罷工的值上。
因此，價外看漲期權將在某個波動性處取最大值，該波動性將盡可能多的機率集中在行使價之下，然後再將分佈集中得太接近於零。
編輯：非常感謝@Veeken 指出它是虛值看漲期權，而不是看跌期權，它具有最大的理論價值。
