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Emanuel Derman 的隱含樹模型隱含波動率偏度是如何得出的？
我正在閱讀Emanuel Derman 的論文 Patterns of Volatility Change。粘性隱含樹模型中的隱含波動率部分在舊底層證券附近具有線性偏斜近似 $ S_0 $ $$ \Sigma(S,K,t)=\Sigma_0-b(K+S-2S_0) $$
一個相關的段落是
在局部波動率模型的線性近似中，您可以編寫 $ \Sigma=f(S+K) $ 和 $ \Sigma $ 一個函式 $ S+K $ .
我想知道這些是如何從隱含波動率樹模型推導出來的，我認為這是本地波動率模型的樹版本。有人可以闡明這個問題嗎？
Derman 的《波動的微笑》（見第 16 章）一書中也討論了這一點。具體來說，他通過以下形式的線性函式來近似局部波動率 $$ \begin{align*} \sigma(S) = \sigma_0 -2 b(S-S_0), \end{align*} $$ 然後近似隱含波動率 $ \Sigma(S, K) $ 罷工選項 $ K $ 通過平均 $ \sigma(S) $ 在 S 和 K 之間。也就是說， $$ \begin{align*} \Sigma(S, K) &\approx \frac{1}{2}\big(\sigma(S) + \sigma(K) \big)\ &=\sigma_0 -b(K+S-2S_0). \end{align*} $$ 這也可以視為 $$ \begin{align*} \Sigma(S, K) &\approx \frac{1}{K-S}\int_S^K\sigma(S’)dS’\ &= \sigma_0 -b(K+S-2S_0). \end{align*} $$ 見上書公式（14.16）。