波動率與變異數有何不同？
我一直認為波動性只是變異數 ^ (1/2)。現在我正在讀這本書，它說這兩者是不同的概念。摘錄包括：
部分由於它在 Black-Scholes 中的使用，從歷史上看，波動性一直被用作衡量金融資產偏差的指標。但是，偏差的正確度量是變異數（或波動率的平方）。波動率應被視為變異數的導數。意識到應該使用變異數而不是波動率導致波動率指數（例如 VIX）從 ATM 波動率（VXO 指數）轉向基於變異數的計算。
應該使用變異數而不是波動率作為波動率的正確衡量標準有三個原因。然而，儘管有這些原因，即使是變異數掉期通常也被引用為變異數的平方根，以便更容易地與期權的隱含波動率進行比較（但我們注意到，偏斜和凸性意味著變異數的公平價格應該始終高於 ATM 期權）。
那有什麼意思？如果變異數只是波動率的平方，為什麼變異數是衡量波動率的更好方法。這不是說英尺比英寸更適合測量東西嗎？
變異數考慮了所有股票價格的隱含波動率。變異數考慮了相同到期日的所有行使價的隱含波動率（而隱含的 ATM 將隨現貨而變化，即使波動率表面沒有變化）。
變異數到底是如何考慮所有罷工的 IV 的？如果我接受 30d Call 的 IV 並將其平方，突然間，這給了我比 IV 本身更多的資訊？
讓我們跳過將其稱為波動性和變異數。讓我們處理變異數和標準差。
對於正態分佈的變數，區分真實變異數和變異數的估計量和標準差的估計量是非常重要的。
原始形式的變異數對於定義管理樣本數據的統計規律很重要，而標準差不起作用（除非您假裝將其平方）。變異數是正態分佈的第二個中心矩。原始形式的變異數定義了所有均值變異數模型。
如果您知道，那就太好了，但如果您不知道，那麼估算器比大多數人意識到的更令人頭疼。
CAPM、APT、Fama-French 或 Black-Scholes 等金融模型是嚴格的頻率模型。在貝氏空間中建構，結果根本不會一樣。因此，我們需要保持在均值、變異數和標準差的頻率主義概念中。
均值的最小變異數無偏估計是$$ \bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n}{n}. $$ 這也是最大概似估計量。
變異數的最大概似估計是$$ s^2_{MLE}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n}. $$ 與樣本均值一起，這是最有效的變異數估計量，但它是有偏估計量。由於我們處於頻率主義者的心態，而不是費舍爾基於可能性的模型，我們必須有一個無偏的估計量。因為會佔用很多篇幅，我就不提供證明了，雖然網上很容易找到，但是變異數的無偏估計是 $$ s^2_{MVUE}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n-1}. $$
到目前為止，一切都很好，我們和第一學期的統計教科書在同一個地方。但不同的是，標準差的無偏估計量不是 $$ s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}. $$ 相反，這是樣本標準偏差。這是一個有偏差的估計量，因為平方根是一個凹函式並且它扭曲了估計量。這通常不是真的$$ \mathbb{E}(f(\tilde{x}))=f(\mathbb{E}(\tilde{x})) $$.
需要進行一些複雜的校正才能使其不偏不倚。對於小樣本，差異很大，但對於非常大的樣本，影響是名義上的，可以忽略不計。
這個問題有點技術性，但這些模型有些脆弱，並且很大程度上取決於它們的建構方式。均值變異數模型在經驗上不受支持。它們建構在公理系統中，並且確實依賴於它。
將波動率視為分佈的尺度測量可能會更好。對於正態分佈，這是變異數。但是，並非所有分佈都有變異數，但許多分佈仍然具有尺度參數。變異數是規模的一個狹窄且非常重要的概念化。它存在的地方具有深刻的數學意義。
非正式地，使用樣本標準差通常是無害的，但如果你真的在為大筆資金建模，那麼小的影響就會變成真實的金額。這在技術上是錯誤的，而且在大筆金額上也是一大筆錢。
變異數到底是如何考慮所有罷工的 IV 的？如果我接受 30d Call 的 IV 並將其平方，突然間，這給了我比 IV 本身更多的資訊？
如果該理論在字面上是正確的，那麼變異數充分描述了每種自然狀態下的所有錯誤和遺漏錯誤。這就是為什麼人們喜歡使用普通模型的原因。您無需執行任何其他操作。因為平方根是凹的，所以您實際上確實會失去理論中的資訊。該統計數據不足以滿足該參數。一個統計數據就足夠了，如果$$ \Pr(\bf{X}|\boldsymbol{\theta})=\Pr(t(\mathbf{X})|\boldsymbol{\theta}), $$在哪裡 $ \bf{X} $ 是樣本， $ t $ 是數據的某個函式（統計量），並且 $ \boldsymbol{\theta} $ 是參數。這不會是真的，因此樣本中關於參數的資訊與關於參數的統計資訊中的資訊不同。它只能更少。
這可能是一本好書，但我並不完全同意其中的摘錄。
此外，波動性和變異數有多種形式，摘錄中沒有充分解釋。例如，根據口味，“波動性應被視為變異數的導數”這一說法充其量是不穩定的。
在任何情況下，變異數（或實際預期變異數）考慮了所有罷工的 IV 的陳述是正確的，並且基本上是將變異數互換罷工的公式作為隱含變異數的加權和（整數），您可以找到在例如 Gatheral 的書“波動性表面”中。