使用 Heston 與 Black-Scholes 模型時，期權價格應該如何不同？
我正在使用Heston模型對歐洲電話進行蒙特卡羅模擬，並嘗試將它們與使用 Black-Scholes 公式計算的價格進行比較。我不太確定我從 Heston 模型中得到的價格是否正確。
- 這裡有規律嗎？
- 價格之間應該是什麼關係？（來自赫斯頓的歐洲看漲期權的價格應該大於還是小於來自布萊克-斯科爾斯的價格？）
誰能解釋一下關係應該是什麼？
如果 $ \sigma_{H}\ne 0 $ 和 $ v_0\ne \theta\ne \sigma^2_{BC} $ 那麼 BC 和 Heston 模型的價格是不同的。
特例
在 Black-Scholes 模型中， $ S_t $ 在風險中性措施下遵循隨機過程
$$ dS_t=(r-q)S_tdt+\sigma_{\color{red}{BC}}S_tdW^{\mathbb{Q}}(t)\tag 1 $$ 另一方面 $$ dS_t=(r-q)S_t+\sqrt{v_t}S_tdW^{\mathbb{Q}}1(t)\ \quad dv_t=\kappa(\theta-v_t)dt+\sigma{\color{red}{H}}\sqrt{v_t}dW^{\mathbb{Q}}2(t)\tag 2 $$ 在哪裡 $ d[W^{\mathbb{Q}}1(t),,,W^{\mathbb{Q}}2(t)]=\rho dt $ . 在 CRR 模型中，我們有 $$ \text{Var}[v_t\big{|}v_0]=\frac{v_0\sigma{\color{red}{H}}^2e^{-\kappa t}}{\kappa}\left(1-e^{-\kappa t}\right)+\frac{\theta\sigma{\color{red}{H}}^2}{2\kappa}\left(1-e^{-\kappa t}\right)^2\tag 3 $$ 現在如果我們設置 $ \sigma\color{red}{H}=0 $ ，然後
$$ \text{Var}[v_t|v_0] = 0\tag 4 $$ 這將產生隨時間變化的波動性，但 $ \color{red}{\text{deterministic}} $ . 確實
$$ dv_t=\kappa(\theta-v_t)dt\tag 5 $$ 或者 $$ v’t+\kappa v_t=\kappa\theta\tag 6 $$ 方程 $ (6) $ 是一個線性常微分方程。我們可以輕鬆地展示 $$ v_t=\theta+c,e^{-\kappa t}\quad ,\quad c\in\mathbb{R}\tag 7 $$ 放 $ v_0=\theta=\sigma{\color{red}{BC}}^2 $ . 所以 $ c=0 $ 和 $ v=\sigma_{\color{red}{BC}}^2,. $
$ \color{red}{\text{Warning},!} $
在赫斯頓模型中，我們有
$$ \begin{align} C(t,,{{S}{t}},{{v}{t}},K,T)={{S}{t}}{{P}{1}}-K,{{e}^{-r\tau }}{{P}{2}}\tag 8 \end{align} $$ 哪裡，對於 $ j=1,2 $ $$ \begin{align} & \mathbb{P}j({{x}{t}},,,{{v}{t}},;,,{{x}{T}},\ln K)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\int\limits{0}^{\infty }{\operatorname{Re}\left( \frac{{{e}^{-i\phi \ln K}}{{f}{j}}(\phi ;t,x,v)}{i\phi } \right)},d\phi \tag 9 \ & {{f}{j}}(\phi ,;{{v}{t}},{{x}{t}})=\exp [{{C}{j}}(\tau ,\phi )+{{D}{j}}(\tau ,\phi ){{v}{t}}+i\phi {{x}{t}}]\tag {10} \ \end{align} $$ 和
$$ \begin{align} & {{C}{j}}(\tau ,\phi )=(r-q)i\phi ,\tau +\frac{a}{{{\sigma{\color{red}{H}} }^{2}}}{{\left( ({{b}{j}}-\rho \sigma{\color{red}{H}} i\phi +{{d}{j}}),\tau -2\ln \left(\frac{1-{{g}{j}}{{e}^{{{d}{j}}\tau }}}{1-{{g}{j}}}\right) \right)}} \tag{11}\ & {{D}{j}}(\tau ,\phi )=\frac{{{b}{j}}-\rho \sigma_{\color{red}{H}} i\phi +{{d}{j}}}{{{\sigma{\color{red}{H}} }^{2}}}\left( \frac{1-{{e}^{{{d}{j}}\tau }}}{1-{{g}{j}}{{e}^{{{d}{j}}\tau }}} \right) \tag{12}\ \end{align} $$ 這樣 $$ \begin{align} & {{g}{j}}=\frac{{{b}{j}}-\rho \sigma{\color{red}{H}} i\phi +{{d}{j}}}{{{b}{j}}-\rho \sigma_{\color{red}{H}} i\phi +{{d}{j}}} \ & {{d}{j}}=\sqrt{{{({{b}{j}}-\rho \sigma{\color{red}{H}} i\phi )}^{2}}-{{\sigma_{\color{red}{H}} }^{2}}(2i{{u}{j}}\phi -{{\phi }^{2}})} \ & {{u}{1}}=\frac{1}{2},,,{{u}{2}}=-\frac{1}{2},,,a=\kappa \theta ,,,{{b}{1}}=\kappa +\lambda -\rho \sigma_{\color{red}{H}} ,,,{{b}_{2}}=\kappa +\lambda ,,\ {{i}^{2}}=-1 \ \end{align} $$
我們不能簡單地替代 $ \sigma_{\color{red}{H}} = 0 $ 進入定價函式，因為這將導致表達式中除以零 $ C_j(\tau,\phi) $ 和 $ D_j(\tau,\phi) $ .
和 $ \sigma_{\color{red}{H}}=0 $ ， Riccati 方程 簡化為 Heston 的文章 (1993) 中的普通一階微分方程
$$ \frac{\partial {{D}{j}}}{\partial \tau }={{p}{j}}-{{b}{j}}{{D}{j}}\tag {13} $$ 在哪裡 $ p_j=u_j i\phi-\frac 12 \phi^2 $ . 這個 ODE 的解是
$$ D_j(\tau ,\phi )=\frac{(i{{u}{j}}\phi -\frac{1}{2}{{\phi }^{2}})(1-{{e}^{-{{b}{j}}\tau }})}{{{b}{j}}}\tag {14} $$ 另一方面，赫斯頓展示了 $$ \frac{\partial {{C}{j}}}{\partial \tau }=ri\phi +a{{D}{j}}\tag{15} $$ 代替 $ (14) $ 在 $ (15) $ 並整合得到 $$ {{C}{j}}(\tau ,\phi )\ =ri\phi \tau +\frac{a(i{{u}{j}}\phi -\frac{1}{2}{{\phi }^{2}})}{{{b}{j}}}\left( \tau -\frac{1-{{e}^{-{{b}{j}}\tau }}}{{{b}{j}}} \right)\tag{16} $$ 在這種情況下 $ j=2 $ 和 $ \lambda=0 $ ， 我們有 $$ \begin{align} & {{D}{2}}(\tau ,\phi )=-\frac{(i\phi +{{\phi }^{2}})(1-{{e}^{-\kappa \tau }})}{2\kappa } \ & {{C}{2}}(\tau ,\phi )\ =ri\phi \tau -\frac{\theta (i\phi +{{\phi }^{2}})}{2}\left( \tau -\frac{1-{{e}^{-\kappa \tau }}}{\kappa } \right) \ \end{align} \tag {17} $$ 我們知道 $$ {{f}{2}}(\phi ;{{\ln S}{t}},{{v}{t}})=\exp\left[i\phi,{\ln S_t}+{{C}{2}}(\tau ,,,\phi )+{{D}{2}}(\tau ,,,\phi ){{v}{t}}\right] $$ 讓 $ v_0=\theta=\sigma_{\color{red}{BC}}^2 $ ， 因此
$$ \color{red}{{{f}{2}}=\exp\left( i\phi \left[\ln {{S}{t}}+(r-\frac{1}{2}{{\sigma }{BC}}^{2})\tau \right]-\frac{1}{2}{{\phi }^{2}}{{\sigma }{BC}}^{2}\tau \right)=\mathbb{E}\left[\exp\left(i,\phi,\ln S_t\right)\right]\tag {18}} $$