如何計算價外期權的隱含波動率？
我正在嘗試計算價外期權的隱含波動率，在較小程度上計算價內期權。我能找到的關於隱含波動率的大多數文獻估計都是針對平價期權的。
換句話說，給定 $ C(s,t) $ , $ S $ ， 和 $ Ke^{-r(T-t)} $ ，相關：
$$ C(s,t) = SN(d_1) - N(d_2)Ke^{-r(T-t)} $$ $$ d_1 = \frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}}\left(\log(S/K)+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\left(T-t\right)\right) $$ $$ d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T-t} $$ 我正在嘗試計算 $ \sigma $ . 我的初步調查顯示沒有封閉形式的解決方案，所以我已經解決了數值近似，但我沒有找到任何關於這種近似的文獻結果。
如果有人可以向我推薦任何有用的近似值或其他結果，我會很高興。也歡迎對此發表其他評論，因為這是一個棘手的話題。
Peter Jaeckel 在這方面寫了很多論文。“暗示”和“讓我們保持理性”是最新的。他還在他的網站www.jaeckel.org上提供了程式碼。
（注意：問題要求文獻。）
在 Google 上查找隱含波動率接近無窮大的漸近行為
你會發現如下結果：
$$ I(K) \stackrel{K\to\infty}{=} \sqrt{\frac{2}{T}}\left(\sqrt{\ln \frac{K}{C(K)}}-\sqrt{\ln\frac{1}{C(K)}}\right) +\text{O}_{K\to \infty}\left(\frac{\ln\ln\frac{1}{C(K)}}{\sqrt{\ln\frac{1}{C(K)}}}\right) $$