我有一個關於 1976 Black Model 和 Bachelier model 的問題。

我知道 P 測量中的幾何布朗運動 $ dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t} dW_{t}^{P} $ 對於股票價格 $ S_{t} $ 導致（在改變措施之後）看漲期權的布萊克-斯科爾斯公式：

$$ C= S_{0} N(d_{1}) − Ke^{−rT} N(d_{2}) $$. 在哪裡 $ d_{1} = \frac{ln(\frac{S_{0}}{K})+(r+\frac{1}{2}\sigma^{2})T}{\sigma\sqrt{T}} $ 和 $ d_{2}=d_{1}-\sigma \sqrt{T} $

我實際上不知道如何在遠期合約上獲得著名的黑色公式：

$$ C= e^{−rT}(F N(d_{1}) − KN(d_{2})) $$. 現在在哪裡 $ d_{1} = \frac{ln(\frac{F}{K})+\frac{1}{2}\sigma^{2}T}{\sigma\sqrt{T}} $ 和 $ d_{2}=d_{1}-\sigma \sqrt{T} $

我應該簡單地插入 $ F(0,T)=S_{0}e^{rT} $ 在第一個 BS 公式中得到第二個？

我問這個是因為我嘗試使用算術布朗運動來推導 BS 公式 $ dS_{t}=\mu dt+\sigma dW_{t}^{P} $ ，我得到：

$$ C= S_{0} N(d) + e^{−rT}[v n(d)-K N(d)] $$. 在哪裡 $ d=\frac{S_{0}e^{rT}-K}{v} $ 和 $ v=e^{rT}\sigma\sqrt{\frac{1-e^{−2rT}}{2r}} $ 並記住 $ N(d) $ 和 $ n(d) $ 是 CDF 和 PDF。

但之前的替換 $ F(0,T)=S_{0}e^{rT} $ 似乎不會導致已知結果 $ C= e^{−rT}[(F-K)N(d)-\sigma\sqrt{T}n(d)] $

現在在哪裡 $ d=\frac{F-K}{\sigma\sqrt{T}} $

我想我可以使用方程在幾何布朗運動和算術布朗運動中達到正向方程

$ dF=F\sigma dW_{t}^{Q} $ 和 $ dF=\sigma dW_{t}^{Q} $ 但我不知道如何證明使用它們的合理性。

未來歐式期權

為期貨歐式期權定價，您只需更換 $ S_0 $ 和 $ Fe^{-rT} $ 在您原來的 BS 公式中，或者您可以使用風險中性方法。兩者都將導致相同的估值公式。

未來的美式期權

上述程序不能用於對未來的美式期權定價。在一篇論文中，Ramaswamy 對未來合約期權的估值指出，

對未來合約美式期權的估值沒有已知的分析解。

作者使用隱式有限差分法對未來合約的美式期權定價。

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編輯：未來合約歐式期權價格的推導

在風險中性測度下，未來價格， $ F_t $ 滿足以下 SDE： $$ dF_t = \sigma F_t dW_t $$ 在哪裡， $ W_t $ 是維納過程。可以很容易地證明： $$ F_T|F_t= F_t e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 (T-t) + \sigma (W_T- W_t)} $$ $$ F_T|F_t \sim logN \left( ln(F_t) - \frac{1}{2}\sigma^2 (T-t), \sigma^2(T-t)\right) $$

未來合約的期權價格 $ (C_t) $ 在風險中性措施下是： $$ C_t = e^{-r(T-t)}E_\mathbb{Q} [(F_T - K)^+] $$

您可以輕鬆解決上述表達式以獲得未來寫入的期權價格。的分佈 $ F_T $ 非常相似 $ S_T $ （見這個答案）。如果你更換 $$ ln(F_t) =ln(S_t) + r(T-t) $$那麼你會得到相同的分佈 $ S_T $ 如在風險中性措施下。這就是為什麼，為了獲得未來期權的價格，我們替換 $ S_t $ 和 $ F_t e^{-r(T-t)} $ 在歐式看漲期權價格的 BS 模型中。

這是使用風險中性定價獲取遠期價格看漲期權價格的簡單方法。

假設我們有一個歐洲電話，支付 $ t = T $ , $ (For(T,T^) - K)^+ $ ， 在哪裡 $ T^ \geq T $ . 進一步假設利率是恆定的，用“ $ r $ “。 讓 $ c^{For}(t, s) $ 是呼叫的價格 $ S(t) = s $ .

那麼如果股票不支付股息：

$ c^{For}(t,s) = \widetilde{\mathbb{E}}[e^{-r(T-t)}(For(T,T^) - K)^+|S(t) = s] $ , 通過複製可以顯示, $ For(T,T^) = S(T)e^{r(T* - T)} $ ， 和

$ c^{For}(t,s) = \widetilde{\mathbb{E}}[e^{-r(T-t)}(S(T)e^{r(T* - T)} - K)^+|S(t) = s] $

您應該立即註意到，由於利率是恆定的，因此是確定性的，我們可以拉“ $ e^{r(T^*-T)} $ " 出乎意料的術語：

$ c^{For}(t,s) = e^{r(T* - T)}\widetilde{\mathbb{E}}[e^{-r(T-t)}(S(T) - e^{-r(T* - T)}K)^+|S(t) = s] $

因此，這現在與帶有行使價的 Black Scholes 看漲價格成正比 $ X = e^{-r(T* - T)}K $

$ c^{For}(t,s) = e^{r(T* - T)}c^{B.S.}(t,s | X = e^{r(T* - T)K} $ ) $ c^{For}(t,s) = e^{r(T^* - T)}[SN(d_+) - e^{-r(T-t)}e^{-r(T* - T)}KN(d_-)] $ $ c^{For}(t,s) = e^{r(T^* - T)}[SN(d_+) - e^{-r(T* - t)}KN(d_-)] $

$ c^{For}(t,s) = e^{-r(T - t)}(FN(d_+) - KN(d_-)) $ ， 在哪裡 $ F = Se^{r(T^* - t)} $

還：

$ d_{\pm} = \frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}}[ln(\frac{S}{K}) + (r \pm \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)] $

這就是“遠期合約著名的黑色公式”。我希望這有幫助！

請注意，遠期價格與遠期合約價格不同。0 時刻遠期合約的價格為 0，但可能會發生變化，遠期價格是您同意在交割時支付的價格。

如果你很好奇，如果它是對期貨價格的呼叫而不是對遠期價格的呼叫，我聲稱如果資產價格與利率不相關，那麼它們是相同的，否則會有套利（假設沒有交易對手風險等）。我鼓勵你嘗試展示這一點。

（PS 對於先前評論者關於遠期價格沒有美式期權公式的回應，這並不能阻止我們使用蒙地卡羅！）

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/24601