如何在傅里葉餘弦法（COS 法）中找到特徵函式 by Fang 和 Oosterlee
Fang 和 Oosterlee (2009)在他們的論文中介紹了傅里葉-餘弦法（COS 法） 。期權定價的公式大約是 $$ e^{-r\Delta t} \sum_{k=0}^{N-1}’ Re\left{ \phi\left( \frac{k\pi}{b-a}; x \right) e^{-ik\pi \frac{a}{b-a}} \right} V_k $$ 在哪裡 $ \phi $ 是底層證券的機率密度函式的特徵函式，並且 $ V_k $ 是到期時收益的餘弦級數係數。
作者提出，要將上述公式應用於價格期權，只需找到 $ V_k. $
但是，我很難找到特徵函式。
很容易證明特徵函式總是存在的。但我不知道如何計算它，比如 Black-Scholes 假設下的歐式看漲期權。
對於傅里葉方法，您總是需要對數資產價格的特徵函式 $ \ln(S_t) $ . 在 Black-Scholes 模型中， $ \ln(S_t)\sim N\left(\ln(S_0)+\left(r-\delta-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t,\sigma^2t\right) $ . 眾所周知，特徵函式 $ X\sim N(m,s^2) $ 是（誰）給的$$ \phi_X(u)=\exp\left(imu-\frac{1}{2}s^2u^2\right). $$您可以通過簡單的集成練習得出此結論。正如你所說，這是高斯鐘形曲線的傅里葉變換。當然，這個函式是複值的。
正如@LocalVolatility 指出的那樣，您可能需要 $ \ln\left(\frac{S_T}{K}\right)=\ln(S_T)-\ln(K) $ . 一般來說，對於任何常數 $ c $ 和可積隨機變數 $ X $ ， 我們有$$ \phi_{X+c}(u)=e^{iuc}\phi_X(u). $$
Fang 和 Oosterlee 得出 $ V_k $ 對於一些歐式期權，並展示一種估算方法 $ a,b $ 基於分佈的累積量。找到所有這些後，實現非常容易。根據 Hirsa (2013) 的說法，COS 方法是“已知最快的基於傅立葉的方法”！
Carr 和 Wu (2004) 以及 Lewis (2001) 列出了許多不同指數 Lévy 過程（例如 Merton、Kou、NIG、VG、CGMY 等）的特徵函式。隨機波動率模型，例如赫斯頓（回憶一下“小赫斯頓陷阱”！）、雙赫斯頓、4/2 也具有封閉形式的特徵函式。甚至可以近似粗糙波動率模型的特徵函式。然而，一些模型沒有已知的特徵函式（例如 CEV、局部波動率）。因此，您不能對這些模型使用 COS 方法。