如何使用路徑相關的交換選項定價？
假設您有兩隻股票 $S$ 和 $P$，因此在初始時間 $t = 0$：$S_0 > P_0$。
您購買了一個在 $0 < t < T$ 期間只要 $S_t > P_t$ 就可以支付 $S_T - P_T$ 的期權。
這種期權的價格是多少？
*如果可能，我正在尋找一個非套利論點，避免任何特定的分佈假設（對數正態、正態等）。
我通過以下方式解決了它，只是想確保我沒有遺漏一些明顯的東西。
在時間 $t = 0$ 建立一個由多頭 $S$ 和空頭 $P$ 組成的投資組合 $PF$。選擇任意時間 $0 < t < T$。如果 $S_t > P_t$ 那麼 $PF_t = S_t - P_t$ 這與期權的價值一致。如果 $S_t$ 從上方觸及 $P_t$，則通過賣出 $S$ 和買入 $P$ 來解散投資組合。在這種情況下，投資組合 $PF$ 和期權同樣具有相同的值 0。
所以我們有一個自籌資金的投資組合，它在時間 $T$ 時的收益與期權相同。因此$t=0$ 時的期權價值必須與無套利時的投資組合價值相同，即期權價值為$S_0 - P_0$。
到期時的期權收益 $T$ 定義為 \begin{align*} (S_T-P_T)1_{\left(\inf_{0 \le t <T}\frac{S_t}{P_t}\right) > 1 }。\end{align*} 令 $Q$ 為風險中性機率測度，$E$ 為對應的期望運算元。令 $Q_p$ 是由 \begin{align*} \frac{dQ_p}{dQ}\big|t = \frac{P_t}{e^{rt} P_0} 定義的機率測度。\end{align*} 此外，令$E_p$ 為對應的期望運算元。然後選項值可以通過 \begin{align*} e^{-rT}E\left((S_T-P_T)1{\left(\inf_{0 \le t <T}\frac{S_t}{ P_t}\right) > 1} \right) &= e^{-rT}E_p\left(\left(\frac{dQ_p}{dQ}\big|T\right)^{-1}(S_T-P_T )1{\left(\inf_{0 \le t <T}\frac{S_t}{P_t}\right) > 1} \right)\ &=P_0 E_p\left(\left(\frac{S_T} {P_T}-1\right)1_{\left(\inf_{0 \le t <T}\frac{S_t}{P_t}\right) > 1} \right),
注意，在$Q_p$下，過程${S_t/P_t \mid t \geq 0}$是一個鞅，也就是說，我們可以把$S_t/P_t$看作是一個零利息和零股息的資產過程. 使用John Hull中的上下障礙看漲期權公式，我們得到 \begin{align*} E_p\left(\left(\frac{S_T}{P_T}-1\right)1_{\left(\ inf_{0 \le t <T}\frac{S_t}{P_t}\right) > 1} \right) = \frac{S_0}{P_0}-1。\end{align*} 即期權價格為$S_0-P_0$。