當長蝶形嚴格為正時，如何證明無套利？
我想證明當長蝶形嚴格為正時，為什麼沒有套利機會。我知道那裡有一個類似的話題，但它似乎沒有解決我的問題：證明蝴蝶條件總是大於零。
通過看漲期權平價，我知道
$ C(T,K+∆K)-2C(T,K)+C(T,K-∆K) \geq 0 $
是有效的，但如何證明嚴格的積極性？我知道在沒有套利的情況下，長蝶式嚴格為正是有道理的。但我只是不知道如何在數學上得到它。希望我能在這裡得到一些想法。
我不確定為什麼您連結到的問題沒有提供答案。我會嘗試回答它，但它與那裡已經說過的話非常相似。底線是：***如果值 $ K $ 基礎資產可以訪問 $ S $ ， 那是 $ K $ 屬於程序域 $ S $ ，*那麼蝴蝶應該是嚴格正數。
首先請注意，蝴蝶實際上是要觸發的二階導數的近似值： $$ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{C(t,K+h)-2C(t,K)+C(t,K-h)}{h^2}=\frac{\partial^2C}{\partial K^2}(t,K) $$ 顯然在哪裡 $ h^2>0 $ . 然而，根據 Breeden-Litzenberger 公式，我們知道： $$ \frac{\partial^2C}{\partial K^2}(T,K)=e^{-rt}q(t,K)\geq 0 $$ 在哪裡 $ q $ 是底層證券的風險中性密度 $ S $ 和 $ r $ 無風險利率。你現在看到了，如果 $ K $ 是一個值 $ S $ 可以到達，也就是 $ K $ 屬於的領域 $ S $ , 那麼密度 $ S $ 在 $ K $ 必須是嚴格正數，即： $$ C(t,K+h)-2C(t,K)+C(t,K-h)\approx h^2e^{-rt}q(t,K)>0 $$
更進一步，讓我們介紹一下狄拉克三角函式 $ \delta $ ，其特徵在於任何實值函式的以下屬性 $ f $ : $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)f(x)dx=f(0) $$ 因此密度可以表示為： $$ q(t,K)=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(s-K)q(t,s)ds=E^Q\left(\delta(S_t-K)\right) $$ 也就是說，風險中性密度對應於回報的價格，該回報在任何地方都是非負的，並且對於世界上的一個狀態是嚴格正的，即如果 $ S_t=K $ $ - $ 非正式的回報將是無限的，如果 $ S_t=K $ ，見狄拉克三角洲的定義。因此，為了避免套利該索賠的價格， $ e^{-rt}q(t,K) $ , 必須嚴格為正。