如何用機率密度函式量化變異數風險溢價（VRP）？

VRP 通常由如下圖表顯示：

很容易看出，在大多數情況下，期權是通過使用波動率來定價的，而波動率會比實際波動率更大。所以 VRP 只是隱含（或無模型）波動率和實際波動率之間的算術差異。

但是，我想知道當我們使用密度函式而不是波動率測量時，測量和量化 VRP 的最佳方法是什麼。例如，在以下情況下，我們有兩個具有機率密度的數組和一個具有執行價格的數組：

您將如何量化 VRP？

首先，VRP（粗略地說）是未來回報的隱含變異數和客觀變異數之間的差異：

$ VRP_t = Var_t^P[R_{t+1}] - Var_t^Q[R_{t+1}] $ ,

其中僅在時間觀察到第二個風險中性變異數 $ t $ . 假設 (1) 投資者對未來變異數的平均判斷是正確的，並且 (2) 溢價是固定的，則可以通過取您所說的這些歷史平均值的差異來量化 VRP 的幅度。

話雖如此，對密度執行相同操作的方法是：

• 樣本中每個時間段的隱含和歷史密度；
• 使用該日期的現貨價格將每個域轉換為回報；
• 將變異數計算為域上的積分；
• 平均差異。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/46799