當現貨價格下降時，如何使用控制變數減少蒙地卡羅的變異數？
我正在嘗試使用控制變數技術來減少從蒙地卡羅模擬中獲得的期權定價估計的變異數。正如 Glasserman 在書中所建議的那樣，我正在使用這個控制變數估計器
$$ \text{“option price at time 0”} \approx \hat Y = \frac 1n\sum_{i=1}^n Z_i $$
在哪裡 $ Z_i $ 是向量的分量 $ Z = Y-\theta(X-\mathbb E[X]) $ ， 和 $ V=e^{-rT}(S(T)-K) $ 貼現收益向量（蒙地卡羅模擬的輸出）， $ X=e^{-rT}S(T) $ 和 $ S(T) $ 是到期時現貨價格的向量 $ T $ 在模擬中生成， $ \theta $ 是一個常數，被選為 $ Z $ 那是 $ \theta=\dfrac{\text{cov}(Y,X)}{\text{var}(X)} $ . 最後，在風險中性措施下 $ X $ 是鞅並且 $ \mathbb E[X]=S(0) $ .
最後一個恆等式來自上一本書“不存在套利本質上等價於適當折現的資產價格為鞅的要求。任何具有已知初始值的鞅都提供了一個潛在的控制變數，正是因為它在任何未來時間的期望都是它的初始價值”。
我沒有得到的是基本假設 $ \mathbb E[S(T)]=e^{rT}S(0) $ 這意味著未來現貨價格將繼續上漲（ $ e^{rT} $ 嚴格大於 $ 1 $ ).
在我正在研究的範例中 - Schwartz 模型下的選項 $ dS = \alpha(\mu-\log S)Sdt + \sigma S dW $ - 初始現貨價格為 $ S(0)=22.93 $ 但幾乎所有（98.5%）的現貨價格 $ S(T) $ 用蒙特卡羅模擬計算的小於 $ S(0) $ ， 因此 $ \mathbb E[S(T)]<e^{rT}S(0) $ 和 $ \hat Y $ 是期權價格的錯誤估計（精確解是 2.08，而控制變數估計是 5.88）。
所以我猜這是一個不同的 $ X $ 必須選擇，對可能的候選人有任何想法嗎？
這是 Matlab 程式碼的輸出，用於
V使用蒙地卡羅模擬計算時間 0 時的期權價格，並由 jherek 提出V_MC_standard = 0.070141, std = 0.000144 V_MC_controlv = 0.070216, std = 0.000074這是程式碼
S0 = 1; % spot price at time 0 K = 1; % strike prices T = 1/2; % expiry time r = .1; % risk-free interest rate alpha = .2; sigma = 0.4; mu = 0.3; %% Standard Monte Carlo N = 1e6; X = log(S0)*exp(-alpha*T) + (mu-sigma^2/2/alpha-(mu-r)/alpha)*(1-exp(-alpha*T)) + sigma*sqrt(1-exp(-2*alpha*T))/sqrt(2*alpha)*randn(N,1); S = exp(X); V = exp( -r*T ) * max(0,S-K); V0 = mean(V); fprintf('V_MC_standard = %f, std = %f\n' , V0 , std(V)/sqrt(N) ); %% Control Variates VC = exp(-r*T)*S; % mean(VC) == S0 C = cov(V,VC); % the covariance matrix theta = C(1,2)/C(2,2); % the optimal theta F = exp( exp(-alpha*T)*log(S0) + (mu-sigma^2/2/alpha-(mu-r)/alpha)*(1-exp(-alpha*T)) + sigma^2/4/alpha*(1-exp(-2*alpha*T)) ); V = V-theta*(VC-exp(-r*T)*F); V0 = mean(V); % Controlled Monte Carlo estimate of the option value fprintf('V_MC_controlv = %f, std = %f\n' , V0 , std(V)/sqrt(N))
這裡的一些假設是錯誤的。這裡的問題是$$ S_0 \neq e^{-rT} E[S], $$ 但$$ F = E[S]. $$
因此 Z 應該是
Z=V-theta*(VC-exp(-rT)*F)。如果你輸出mean(VC)它很清楚。這表明 Schwartz 模型的參數選擇與利率 r 不一致，除非預期便利收益率非零。