我們如何得出PIDEPIDEPIDE雙指數跳躍擴散模型（我們稱為kou模型）？
我正在使用以下形式的雙指數跳躍擴散模型（我們稱為 kou 模型），在物理機率測量下 $ P $ :
$$ \begin{equation} \frac{dS(t)}{S(t-)}=\mu dt+\sigma dW(t)+d(\sum_{i=1}^{N(t)}(V_i-1)) \end{equation} $$在哪裡 $ W(t) $ 是標準布朗運動， $ N(t) $ 是一個具有速率的 Poisson 過程 $ \lambda $ ， 和 $ {V_i} $ 是獨立同分佈 (iid) 非負隨機變數的序列，使得 $ Y = log(V) $ 具有非對稱雙指數分佈，密度為 $$ \begin{equation} f_Y(y)=p.\eta_1 e^{-\eta_{1}y}\upharpoonleft_{y\geq 0}+q.\eta_2 e^{\eta_2 y} \upharpoonleft_{y<0},\eta_{1}>1,\eta_{2}>0 \end{equation} $$在哪裡 $ p, q \ge 0 $ , $ p+q = 1 $ ，表示向上和向下跳躍的機率。 $$ $$ 求解隨機微分方程給出了資產價格的動態： $$ \begin{equation} S(t)=S(0)\exp{(\mu- \frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma W(t)} \prod_{i=1}^{N(t)}V_i \end{equation} $$ 還有股價過程， $ (S_t){t \geq 0} $ ，由這些模型驅動，由下式給出： $$ \begin{equation} S{t}=S_{0}e^{L_t} \end{equation} $$ 在哪裡 $ S_0 $ 是零時間的股票價格和 $ L_t $ 定義為：$$ \begin{equation} L_t:=\gamma_{c}t+\sigma W_t+\sum_{i=1}^{N_i}Y_i \end{equation} $$ 這裡， $ \gamma_{c} $ 是一個漂移術語， $ \sigma $ 是一種波動性， $ W_t $ 是布朗運動， $ N_t $ 是一個有強度的 Possion 過程 $ \lambda $ , $ Y_i $ 是隨機變數的獨立同分佈序列。因為 $ \sigma>0 $ 在上等式中，存在風險中性機率測度 $ Q $ 這樣打折的過程 $ {e^{-(r-q)} S_t}{t \geq 0} $ 變成鞅，在哪裡 $ r $ 是利率和 $ q $ 是股息率。那麼在這個新的衡量標準下 $ Q $ , 風險中性 Levy 三元組 $ L_t $ 可以描述如下：$$ \begin{equation*} (\gamma{c},\sigma,\nu) \end{equation*} $$ 哪裡 $$ \begin{align*} \gamma_{c} & = r-q-\frac{1}{2}\sigma^2+ \int_{\mathbb{R}} (e^x-1) \nu(dx) \ & = r-q-\frac{1}{2}\sigma^2+ \lambda \eta \end{align*} $$ 這裡我們關注 Levy 度量與純跳躍分量相關聯的情況，因此是 Levy 度量 $ \nu(dx) $ 可以寫成 $ \lambda f(x) dx $ ，其中權重函式 $ f(x) $ 可以採取以下形式： $$ \begin{equation} f(x):=p.\eta_1 e^{-\eta_{1}x}\upharpoonleft_{x\geq 0}+(1-p).\eta_2 e^{\eta_2 x} \upharpoonleft_{x<0},\eta_1>1,\eta_2>0 \end{equation} $$ 同樣在 $ \eta = \int_{\mathbb{R}}(e^x-1)f(x) dx $ 代表因跳躍而預期的相對價格變化。由於我們已經定義了 Levy 密度函式 $ f(x) $ 對於雙指數跳躍擴散模型， $ \eta $ 可以計算為：
$$ \begin{equation} \eta= \frac{p \alpha_1}{\alpha_{1}-1}+\frac{(1-p)\alpha_2}{\alpha_2+1}-1 \end{equation} $$ 這是通過整合發現的 $ e^x $ 通過設置超過實線 $ \alpha_1 >1 $ 和 $ \alpha_{2}>0 $ .
我們讓 $ \tau=T-t $ , 到期時間, 其中 $ T $ 是所考慮的金融期權的到期日，我們引入 $ x = log S_t $ ，標的資產的對數價格。如果 $ u(x; \tau ) $ 表示一些（美國和歐洲）或然債權的價值 $ S_t $ 什麼時候 $ log St = x $ 和 $ \tau = T - t $ ，那麼它是眾所周知的，例如，參見 (Cont and Tankov, 2004) $ u $ 滿足以下 $ PIDE $ 在非運動區：
$$ \begin{align*} \partial_\tau, u(x,\tau) & = \frac{1}{2}\sigma^2 \partial_{x}^2 u +(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2-\lambda \eta)\partial_x u-(r+\lambda)u \ &+ \lambda \int _{\mathbb{R}} u(x+y,\tau) f(y) dy \end{align*} $$ 帶初始值 $$ \begin{equation} u(x,0)=g(x):=G(e^x)= \begin{cases} max{e^x-k,0}, & \text{call option} \ max{k-e^x,0}, & \text{put option} \end{cases} \end{equation} $$ 我的問題是我們如何得出上述 $ PIDE $ 我搜尋了很多文章，但大多數只提到 $ PIDE $ 我們說你可以在 Cont 和 Tankov Book 中找到，我也在這本書中搜尋過，但我找不到上面的內容 $ PIDE $ .
感謝幫助。
讓 $ {P_t \mid t \geq 0} $ 是一個複合Poisson過程，其中
$$ \begin{align*} P_t = \sum_{i=1}^{N_t} (V_i -1), \end{align*} $$ 和 $ N_t $ 是一個有強度的Poisson過程 $ \lambda $ 和跳躍次數 $ \tau_i $ , $ i = 1, \ldots, \infty $ . 讓 $ Y_i=\ln V_i $ 和 $ f(x) $ 為密度函式。然後 $$ \begin{align*} P_t - \lambda t E(V_1) &= P_t - \lambda t \int_{\mathbb{R}}(e^x-1)f(x) dx \end{align*} $$ 是鞅。我們表示 $ \eta = \int_{\mathbb{R}}(e^x-1)f(x) dx $ . 此外，我們假設股票價格過程 $ {S_t \mid t \geq 0} $ 滿足 SDE $$ \begin{align*} \frac{dS_t}{S_t} = (r-q-\lambda \eta)dt + \sigma dW_t + dP_t, \end{align*} $$ 在哪裡 $ {W_t \mid t \geq 0} $ 是標準布朗運動。然後 $$ \begin{align*} S_t = S_0 \exp\Big(\big(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2 - \lambda \eta \big)t + \sigma W_t + \sum_{i=1}^{N_t} Y_i \Big). \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} d \ln S_t = (r-q-\frac{1}{2}\sigma^2-\lambda \eta)dt + \sigma dW_t + d\sum_{i=1}^{N_t} Y_i. \end{align*} $$ 讓 $ X_t = \ln S_t $ ， 和 $ u(X_t, t) $ 成為當時的期權價格 $ t $ ， 在哪裡 $ 0 \leq t \leq T $ . 那麼，根據伊藤公式，
$$ \begin{align*} u(X_t, t) &= u(X_0, 0) + \int_0^t\partial_t u(X_s, s) ds + \int_0^t\partial_x u(X_{s-}, s) dX_s + \frac{1}{2}\sigma^2 \int_0^t \partial_{xx} u(X_s, s)ds\ & \qquad +\sum_{s \leq t}\big[u(X_s, s) - u(X_{s-}, s) - \partial_x u(X_{s-}, s)\Delta X_s\big] \quad (\mbox{where } \Delta X_s=X_s - X_{s-})\ &= u(X_0, 0) + \int_0^t\partial_t u(X_s, s) ds + \int_0^t\partial_x u(X_{s}, s) dX_s^c + \frac{1}{2}\sigma^2 \int_0^t \partial_{xx} u(X_s, s)ds\ & \qquad +\sum_{s \leq t}\big[u(X_t, t) - u(X_{t-}, t) \big] \quad (\mbox{where } X_t^c = \big(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2 - \lambda \eta \big)t + \sigma W_t)\ &= u(X_0, 0) + \int_0^t\partial_t u(X_s, s) ds + \int_0^t\partial_x u(X_{s}, s) dX_s^c + \frac{1}{2}\sigma^2 \int_0^t \partial_{xx} u(X_s, s)ds\ & \qquad +\int_0^t \int_{\mathbb{R}}\big[ u(X_{s-} + y, s) - u(X_{s-}, s))\big]\mu(ds, dy) \quad (\mbox{where } \mu = \sum_{i=1}^{\infty} \delta_{\tau_i, Y_i})\ &= u(X_0, 0) + \int_0^t\partial_t u(X_s, s) ds + \int_0^t\partial_x u(X_{s}, s) dX_s^c + \frac{1}{2}\sigma^2 \int_0^t \partial_{xx} u(X_s, s)ds\ &\qquad +\int_0^t \int_{\mathbb{R}}\big[ u(X_{s-} + y, s) - u(X_{s-}, s))\big](\mu(ds, dy) - ds v(dy)) \ &\qquad +\int_0^t ds\int_{\mathbb{R}}\big[ u(X_{s} + y, s) - u(X_{s}, s))\big]\lambda f(y)dy, \end{align*} $$ 在哪裡 $ v(dy) = \lambda f(y)dy $ . 這裡 $$ \begin{align*} M_t = \int_0^t \int_{\mathbb{R}}\big[ u(X_{s-} + y, s) - u(X_{s-}, s))\big](\mu(ds, dy) - ds v(dy)) \end{align*} $$ 是鞅。自從 $ u(X_t, t) e^{-rt} $ 是鞅，並且 $$ \begin{align*} d\big(u(X_t, t) e^{-rt}\big) &= e^{-rt}\big[-r u dt + du\big], \end{align*} $$ 我們得到 $$ \begin{align*} &-ru(X_t, t) + \partial_t u(X_t, t) + \big(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2 - \lambda \eta \big)\partial_x u(X_{s}, s)
- \frac{1}{2}\sigma^2 \partial_{xx} u(X_t, t) \ & \qquad\qquad + \int_{\mathbb{R}}\big[ u(X_{t} + y, t) - u(X_{t}, t))\big]\lambda f(y)dy = 0. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} & \partial_t u(X_t, t) + \big(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2 - \lambda \eta \big)\partial_x u(X_{s}, s)
- \frac{1}{2}\sigma^2 \partial_{xx} u(X_t, t) -(r+\lambda)u(X_t, t)\ & \qquad\qquad + \lambda \int_{\mathbb{R}} u(X_{t} + y, t) f(y)dy = 0. \end{align*} $$