期權
隱含機率密度（問題 2 - 應用和解釋）
使用看漲期權價格的二階導數可以嘗試恢復定價密度。
***形式上：***假設利率不變 $ r $ 並且不對用於進化的模型做出任何假設 $ S_t $
$ C(t,S_t,K,r,T)=e^{-r(T-t)}\int_0^{\infty}(S_T-K)^+f(S_T|S_t)dS_T $
然後通過以下方式恢復密度
$ p(S_T|S_t)=e^{r(T-t)}\frac{\partial^2 C(t,S_t,K,r,T)}{\partial K^2}|_{K=S_T} $
作為我最後一個問題的後續行動：
- 這種恢復密度的應用是什麼？
- 我們如何解釋它？（它可以被認為是“真實的”機率密度嗎？ - 看看它在定價環境中的使用方式，它應該仍然是風險中性的）
1) 一個簡單的應用程序是使用它在到期時為任何復雜的收益定價。
我的意思是這樣的回報，期權的價格是
$$ P = e^{-r(T-t)}E[f(S_T)] $$ 然後您可以通過積分來計算 $ f(S_T) $ wrt到你的密度。
但是，挑戰之一是對機翼的隱含體積（即遠離目前前鋒）進行適當的標記和內推/外推，以使您的密度不會變為負數。
因此，這種密度的另一個應用是它是檢查期限期權波動率曲線上沒有套利的好方法。
- 是的，這只是您可以通過使用市場上的衍生品來對沖的機率。這有點像如果一匹馬有 1 對 4 的賠率，這並不意味著它有 20% 的機會獲勝，它只是（有點）意味著如果你有一些產品的價格需要知道這個機率，輸入價格的正確數字是 20%，因為您將使用的套期保值工具（即更好的 1 對 4 那匹馬，或對沖）將花費正好。