在 Black-Scholes 中，為什麼是日誌小號t+△t小號噸Φφ((μ-12σ2)△t,σ2△t)日誌小號噸+△噸小號噸∼φ((μ−12σ2)△噸,σ2△噸)log{frac{S_{t+triangle t}}{S_t}} sim …
我不明白為什麼在公式中
$$ \log{\frac{S_{t+\triangle t}}{S_t}} \sim \phi{\left((\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)\triangle t, \sigma^2 \triangle t\right)} $$ 平均值是 $ (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)\triangle t $ 而不僅僅是 $ \mu \triangle t $ . 我知道它應該代表對數正態分佈，但我想我遺漏了一些東西，或者解釋不夠簡單。
所以我們有BS模型
$$ dS_t=S_t(\mu dt +\sigma dW_t) $$ Wlog 我們假設 $ S_0=1 $ . 伊藤引理意味著
$$ S_t=\exp{(\sigma W_t+(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t)} $$ 我們知道 $ W_t $ 正態分佈，均值 $ 0 $ 和變異數 $ t $ . 現在看看 rv
$$ X_t=\sigma W_t+(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t $$ $ \sigma W_t $ 是隨機部分並且 $ \gamma:=(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t $ 是確定性的。因此 $ E[X_t]=\sigma E[W_t]+\gamma=\sigma\cdot 0+\gamma=\gamma $ . 我們也有規矩 $ Var(Y+a)=Var(Y) $ , 對於常數 $ a $ 和一輛房車 $ Y $ . 因此變異數為 $ X_t $ 是（誰）給的 $ \sigma^2t $ .
通過屬性 $ \exp(x) $ 函式，我們有
$$ \frac{S_{t+\Delta t}}{S_t}=\exp{(\sigma(W_{t+\Delta t}-W_t)+(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2})(t+\Delta t-t))=\exp{(\sigma(W_{t+\Delta t}-W_t)+(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2})\Delta t) $$ 您可以應用與 for 相同的參數 $ X_t $ , 使用那個 $ W_{t+\Delta t}-W_t\sim\mathcal{N}(0,\Delta t) $ .
為什麼它應該是對數正態分佈應該很清楚。如果您有不清楚的地方，請告訴我。