蝴蝶期權的初始/邊界條件？
蝴蝶期權的初始條件和邊界條件是什麼？我想為它編寫一個 PDE 程序，並且我對收益應該是多少有一個粗略的了解（它只是一個看漲期權和一個行使價的看跌期權嗎？）但是如果有人可以為我提供明確的答案，那麼我會非常感謝。特別是，我追求像時間這樣的東西 $ T $ 邊界條件（通常是期權收益並作為初始條件）寫成 $ u(T,x) $ , 邊界條件為 $ x \rightarrow 0 $ IE $ \lim_{x\rightarrow 0} u(t,x) $ （我認為應該等於 $ 0 $ ) 和邊界條件為 $ x \rightarrow \infty $ IE $ \lim_{x\rightarrow \infty} u(t,x) $
在相關的說明中，我是金融數學的新手，每次我需要尋找看漲期權以外的期權條件時，我通常會發現非常困難（我必須在Google上搜尋近一個小時才能找到相關的東西它似乎）。有沒有人有資源可以為一系列選項提供初始條件和邊界條件？
提前致謝。
編輯：好的，快速搜尋顯示蝴蝶套利的回報是 $ (S - K_c)^+ + (K_{p} - S)^+ - (S - K_{atm})^+ - (K_{atm} - S)^+ $ 在哪裡 $ K_{atm} = \frac{K_c + K_p}{2} $ ，但是，我仍然不知道邊界條件是什麼，有人可以告訴我它們是什麼（甚至希望如何推導它們？）謝謝！
您正在嘗試編寫一個程序來解決以下定價 PDE（假設 Black-Scholes）
$$ \frac{\partial V}{\partial t}(t,S) + (r-q)S\frac{\partial V}{\partial S}(t,S) + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S) - rV(t,S) = 0 $$ 在哪裡 $ V_0:=V(0,S_0) $ 是目標期權溢價。
最終條件是，在 $ t=T $ （合約到期），期權的價值應該等於它的收益 $ \phi (S_T) $ 由於沒有套利機會：
$$ V(T, S_T) = (S_T-(K-a))^+ - 2(S_T-K)^+ + (S_T-(K+a))^+,\ \ \forall S_T \in \mathbb{R}^+ $$ 真正的參數在哪裡 $ a>0 $ 描述了蝴蝶位置的“寬度”。 要獲得邊界條件，請記住上述定價 PDE 的解是由Feynman-Kac公式得出的：
$$ V(t,S_t) = \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left[ e^{-r(T-t)} \phi(S_T) \vert \mathcal{F}_t \right] $$ 在哪裡 $ \mathbb{Q} $ 是一種機率測度，在該測度下，任何自籌資金的投資組合的價值以無風險利率貼現 $ r $ , 構成鞅。使用上述公式，我們可以啟發式(*) 看到
$$ \begin{align} \lim_{S \rightarrow 0} V(t,S_t=S) &= \lim_{S_T \rightarrow 0} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(T-t)} \phi(S_T) \right] \ &= e^{-r(T-t)} \phi(0) \ &= 0 \ \lim{S \rightarrow \infty} V(t,S_t=S) &= \lim_{S_T \rightarrow \infty} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(T-t)} \phi(S_T) \right] \ &= e^{-r(T-t)} \underbrace{\lim{S_T \rightarrow \infty} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ (S_T-(K-a)) - 2(S_T-K) + (S_T-(K+a)) \right]}{=0} \ &= 0 \end{align} $$ 請注意，您可以等效地在邊界處使用馮諾依曼條件，而不是狄利克雷條件。例如在這裡，Gamma 預計會消失的事實，即
$$ \begin{align} \lim_{S\rightarrow 0} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S_t=S) = 0 \ \lim_{S\rightarrow \infty} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S_t=S) = 0 \ \end{align} $$ (*)**$$ REM $$**儘管理論上為隨機變數定義了極限 $ S=S_t $ 我們可以“啟發式地”將其傳播到論點 $ S_T $ 的支付函式。這是因為在均勻擴散模型 à la Black-Scholes $ `\ S_T \propto S_t\ ’ $ . 我使用引號是因為這不是寫它的嚴格方式，但你明白了。