到期接近無窮大時解讀歐式看漲期權

假設股息=0，則看漲期權的價格為

$$ C = S\cdot P_{s}[S(T) > K] - e^{-rT}K\cdot P_F[S(T) > K] = SN(d_1)-e^{-rT}KN(d_2) $$ 在哪裡

$ P_s[S(T) > K] $ = ITM 的機率，當 $ S(t) $ 被設置為一個計價單位並且

$ P_F[S(T) > K] $ = 在前向測量下 ITM 的機率

什麼時候 $ T \rightarrow \infty $ , $ N(d_1) \rightarrow 1 $ 和 $ N(d_2) \rightarrow 0 $ 無論行使價如何 $ K $ 因此 $ C = S $ .

然而，當 $ T \rightarrow \infty $ , 那麼這將擠壓股價的機率密度函式為 $ 0 $ .

我的問題是

1. 為什麼看漲期權的價格等於 $ S $ ，當股票價格的機率密度函式峰值為 0 時。
2. 如果股票價格計價下的機率測度和遠期測度是等價的，那麼機率 $ P[S(T) > K] $ 不應該同意嗎？或者在這種情況下它們不等效？還是只是 $ P_s[S(T)>K] \rightarrow 1 $ 不是 $ P_s[S(T)>K] = 1 $ ?

1. 當 T 增加時，對數正態的眾數趨於 0，但風險中性均值（假設沒有股息）為 S0*exp(rT)，隨時間增加

然後在 Black Scholes 中，貼現抵消了股票的風險中性漂移 (S0*exp(rT)*DF = S0)

2. 不知道我得到第二點，你能重新制定嗎？

從長遠來看，在風險中性測度下，預期股票價格將發散到無窮大，並且分佈會越來越分散。

因此，從長遠來看，我們將 $ E(S(t)) \to \infty $ 以及覆蓋範圍的 cdf 分數 $ 0\ldots X $ 變得越來越小。因此，非常（非常）長期的看漲期權實際上是對標的資產本身的投資。

HTH？

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/60603