Black Scholes 中 delta 對沖誤差的影響
我花了一些時間來證明戴維斯在這篇論文第 16-17 頁中描述的 delta 對沖錯誤。此處討論了證明Deriving Delta Hedge error in the BS setup（第 2 部分）（我自己的文章）
我認為該模型非常複雜（甚至證明也很棘手）並且難以解釋。在哪裡 $ Z $ 是對沖誤差，主要是這樣的：
$$ Z_t = \int^t_o e^{r(t-s)} \frac{1}{2}\Gamma_s S_s^2(\sigma^2-\beta_s^2)ds $$ 用語言和簡單的英語；這個模型應該如何解釋？（當然，沒有方程式就無法解釋，但我正在尋求直覺） 實際波動率是多少（ $ \beta_t) $ 在這種情況下實際上是什麼意思？例如; 如果我每天進行 delta 對沖到期的空頭歐洲看漲期權頭寸 $ T=2 $ 一年為一年（ $ t=1) $ 然後我可以（我理解模型的方式）評估我的套期保值錯誤。但這對我將來有什麼幫助？在各種論文中，這個結果被認為是一個強有力的結果。我理解它的方式：它只是幫助我意識到我過去的對沖錯誤。我可能誤解了它，還有更多。
讓我們推導出證明。假設您做空期權並做多其自籌資金的 delta 對沖。你得到了投資組合 $ \Pi $ 誰的 $ t $ -value 驗證
$$ \Pi_t = \underbrace{- V_t}{\text{Short option}} + \underbrace{\Delta_t S_t}{\text{Long stocks}} + \underbrace{\frac{(V_t - \Delta_t S_t)}{B_t} B_t}_{\text{Residual cash position}} $$ 當時 $ t $ ，這個頭寸的價值為零：期權完全被對沖複製。但是，一旦時間過去，您將需要重新平衡對沖以保持 delta 中性。讓我們看看當我們保持 delta 不變時在兩個再平衡日期之間會發生什麼 $ [t,t+dt[ $ . 因為該策略是自籌資金的，假設無風險貨幣市場賬戶驗證 ODE $ dB_t = B_t r dt $ 並且股票不支付股息，那麼我們就有了複製錯誤 $ [t,t+dt[ $ 寫
$$ d\Pi_t = - dV_t + \Delta_t dS_t + (V_t - \Delta_t S_t) r dt \tag{0} $$ 讓我們以最低的平凡順序擴展不同的術語。如果我們考慮純擴散模型（無跳躍），這意味著 1 階 $ dt $ 並訂購 2 個 $ dS_t $ . 假設您正在為該選項定價 $ V_t $ 在具有波動性的 BS 框架下 $ \sigma $ , 伊藤引理給出 $$ \begin{align} dV_t &= \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial t} dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} d\langle S \rangle_t \ &= \theta_t dt + \Delta_t dS_t + \Gamma_t d\langle S \rangle_t \end{align} $$ 插入這個 $ (0) $ 產量 $$ d\Pi_t = \underbrace{(-\theta_t - rS_t \Delta_t + rV_t)dt}_{\text{(a)}} - \Gamma d\langle S \rangle_t \tag{1} $$ 第一項 $ (a) $ 應該看起來很熟悉。確實，如果您在 BS 框架下定價，那麼 $ v_t = V(t,S_t) $ 應該驗證 BS 定價 PDE $$ \theta_t + r S_t \Delta_t + \frac{1}{2} \Gamma S_t^2 \sigma^2 - r V_t = 0 $$ 使用它來重寫 $ (1) $ 在此期間產生以下複製錯誤 $ [t,t+dt[ $ $$ \begin{align} d\Pi_t &= \frac{1}{2} \Gamma S_t^2 \sigma^2 dt - \Gamma d \langle S \rangle_t \ &= \frac{1}{2} \Gamma S_t^2 \left( \sigma^2 - \frac{d \langle S \rangle_t}{(S_t)^2 dt} \right) dt \ &= \frac{1}{2} \Gamma S_t^2 \left( \sigma^2 - \beta_t^2 \right) dt \end{align} $$ 在哪裡 $ \beta^2 $ 是對數回報的“已實現”二次變分，即不是您的模型假設和定價的那個，而是市場真正表現的方式。 現在，如果您想找出直到到期的總複製錯誤 $ T $ 從目前時間看 $ t $ , 剩下要做的就是整合和折扣上述無窮小的損益洩漏
$$ P&L_t = \int_0^T e^{-r(T-t)} \frac{1}{2} \Gamma S_t^2 \left( \sigma^2 - \beta_t^2 \right) dt $$ 這是一個非常有趣且眾所周知的方程式，因為它結合了 3 個重要概念：
$$ \int_0^T e^{-r(T-t)} \frac{1}{2} \underbrace{\Gamma}{\text{Instrument related}} S_t^2 \left( \underbrace{\sigma^2}{\text{Model related}} - \underbrace{\beta_t^2}_{\text{Market related}} \right) dt $$ 對它的天真解釋是這樣的。假設我通過定價未來波動率賣出了一個普通期權 $ \sigma $ 成立之初。如果實現的波動率 $ \beta $ 總是高於 $ \sigma $ ，那麼我預計會賠錢，因為這相當於我實際上低估了期權的價格（請注意， $ \Gamma $ 香草選項總是積極的）。
這裡的訣竅是觀察賣出期權並動態對沖它並不是純粹的波動性交易。上面 P&L 等式中的 gamma 項引入了路徑依賴性：僅沿路徑 $ \Gamma(t,S_t) $ 不為零，定價與實際成交量之間的差異會累積，盈虧會結晶。您可以在此相關問題中找到更多資訊。
當然，正如評論中提到的，這個損益方程假設沒有交易成本和持續交易（當動態重新平衡 Delta 時）。在實踐中你也是對的，這用於事後監控 delta 對沖投資組合的日常演變。例如，它通常是解釋的損益計算的一部分。