Joshi，練習 2.7 數學金融的概念

讓 $ D(K) $ 支付 $ (S - K)^2 $ 如果 $ S > K $ ，否則為零。證明如果 $ D(K) $ 是的可微函式 $ K $ 然後是三階導數 $ K $ 是非負的。

根據書中的提示，我們建構了一個投資組合，並通過證明凸性和三階導數來進行。我對此有點失望，我以為我們可以取的三階導數 $ D(K) $ 並簡單地檢查它是否為非負數。

這個想法與 Breeden-Litzenberger 結果中使用的想法幾乎相同。您已經在這裡找到了許多與此相關的問題，請參見例如：證明蝴蝶條件始終大於零。

衍生工具的現值是貼現後的預期值。

$$ \begin{equation} D_0 = e^{-r T} \int_K^\infty (x - K)^2 f(x) \mathrm{d}x, \end{equation} $$ 在哪裡 $ f $ 是風險中性機率密度函式 $ S_T $ . 如果你現在仔細區分 3 次 wrt $ K $ 使用萊布尼茨規則，你得到

$$ \begin{eqnarray} \frac{\partial D_0}{\partial K} & = & -2 e^{-r T} \int_K^\infty (x - K) f(x) \mathrm{d}x,\ \frac{\partial^2 D_0}{\partial K^2} & = & 2 e^{-r T} \int_K^\infty f(x) \mathrm{d}x\ \frac{\partial^3 D_0}{\partial K^3} & = & -2 e^{-r T} f(K). \end{eqnarray} $$ 這裡， $ f(K) $ 必須是非負的才能成為有效的機率密度函式，因此我們得出結論，三階導數必須是非正的。請注意，這可能是您的問題或書中的錯字。

獲得此結果的另一種方法是考慮有限差分近似

$$ \begin{equation} \frac{\partial^3 D_0}{\partial K^3} \approx \frac{1}{\Delta^3} \left( -\frac{1}{2} D_0(K - 2\Delta) + D_0(K - \Delta) - D_0(K + \Delta) + \frac{1}{2} D_0(K + 2 \Delta) \right) \end{equation} $$ 對於一些步長 $ \Delta $ . 投資組合的最終收益 $ \Pi $ 由分子中的期權位置組成的是

$$ \begin{eqnarray} \Pi_T \left( S_T \right) & = & -\frac{1}{2} \left( S_T - K + 2 \Delta \right)^2 \mathrm{1} \left{ S_T > K - 2 \Delta \right} + \left( S_T - K + \Delta \right)^2 \mathrm{1} \left{ S_T > K - \Delta \right}\ & & - \left( S_T - K - \Delta \right)^2 \mathrm{1} \left{ S_T > K + \Delta \right} + \frac{1}{2} \left( S_T - K - 2 \Delta \right)^2 \mathrm{1} \left{ S_T > K + 2 \Delta \right}. \end{eqnarray} $$ 我們首先觀察到對於任何 $ x \geq 0 $ ， 我們有

$$ \begin{equation} \Pi_T(K + x) = \Pi_T(K - x). \end{equation} $$ 因此，我們可以限制自己分析收益 $ S_T \leq K $ 在不同的區間。

1. 為了 $ S_T \leq K - 2 \Delta $ , 所有期權都在價外到期，並且 $ \Pi_T = 0 $ .
2. 為了 $ K - 2 \Delta < S_T \leq K - \Delta $ , 只做空頭頭寸 $ K - 2 \Delta $ 是in-the-money，我們的收益是嚴格的負數。在 $ S_T = K - \Delta $ 這是 $ \Pi_T = -\Delta^2 / 2 $ .
3. 為了 $ K - \Delta < S_T \leq K $ , 也是罷工中的多頭頭寸 $ K - \Delta $ 是價內的。然而，我們的整體回報變得更加消極。在 $ S_T = K $ 這是 $ \Pi_T = -\Delta^2 $ .

使用周圍的對稱性 $ S_T = K $ ，我們發現我們的收益在任何地方都是非正的。因此，初始投資組合價值也必須是非正的，我們得出結論： $ \partial^3 D_0 / \partial K^3 \leq 0 $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/37373